Constante de Legendre

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La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique.

Legendre conjecture en 1808 une forme précise de ce qu’on appellera plus tard le théorème des nombres premiers. Il écrit : « Quoique la suite des nombres premiers soit extrêmement irrégulière, on peut cependant trouver avec une précision très-satisfaisante, combien il y a de ces nombres depuis 1 jusqu’à une limite donnée x. La formule qui résout cette question est

étant un logarithme hyperbolique[1]. » En d’autres termes, Legendre affirme que

et où π(x) désigne la fonction de compte des nombres premiers inférieurs à x.

Le nombre , qui existe, est appelé constante de Legendre. Mais sa valeur n’est pas celle supposée par Legendre.

En 1849, Tchebycheff[2] démontre que si la limite existe, elle doit être égale à 1. Une preuve plus simple est donnée par Pintz en 1980[3].

C'est une conséquence immédiate du théorème des nombres premiers (qui avait été démontré en 1896 indépendamment par Jacques Hadamard[4] et par Charles-Jean de La Vallée Poussin[5]), sous la forme plus précise démontrée en 1899 par La Vallée Poussin[6]

que

et donc que A existe et vaut 1.

Références[modifier | modifier le code]

  1. A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, Courcier 1808, p. 394.
  2. (de) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Chelsea, , p. 17 (3e éd. corrigée, 2 vol. en un).
  3. (en) J. Pintz, « On Legendre's prime number formula », Amer. Math. Monthly, vol. 87,‎ , p. 733-735.
  4. « Sur la distribution des zéros de la fonction et ses conséquences arithmétiques », Bull. Soc. Math. Fr., vol. 24,‎ , p. 199-220 (lire en ligne).
  5. « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la Société scientifique de Bruxelles, vol. 20,‎ , p. 183-256 et 281-361.
  6. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique, vol. 59, 1899, p. 1-74.