Conjecture de Cramér

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En mathématiques, la conjecture de Cramér, formulée par le mathématicien suédois Harald Cramér en 1936[1], pronostique que

p_{n+1}-p_n=\mathcal{O}((\ln p_n)^2),

pn est le n-ième nombre premier et \mathcal{O} désigne le O de Landau ; cette conjecture n'est pas démontrée à ce jour.

Énoncés liés[modifier | modifier le code]

Cramér avait auparavant, en 1920[2], démontré un énoncé plus faible :

p_{n+1}-p_n = \mathcal{O}(\sqrt{p_n}\,\ln p_n)

sous l'hypothèse de Riemann (qui elle-même n'est pas démontrée non plus).

Andrew Granville[2] a affiné la conjecture initiale de Cramér en proposant la constante

2e^{-\gamma}\approx1,1229\ldots.

comme limite supérieure de la suite

\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n)^2}.

Des calculs poussés indiquent que cette estimation est plausible[3].

Dans l'autre direction, on sait[4] que

\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cramér's conjecture » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) H. Cramér, « On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers », Acta Arithmetica, vol. 2,‎ 1936, p. 23–46.
  2. a et b (en) A. Granville, « Harald Cramér and the distribution of prime numbers », Scandinavian Actuarial Journal, vol. 1,‎ 1995, p. 12–28 (lire en ligne).
  3. (en) Thomas R. Nicely, « New maximal prime gaps and first occurrences », Mathematics of Computation, vol. 68, no 227,‎ 1999, p. 1311–1315 (DOI 10.1090/S0025-5718-99-01065-0).
  4. (de) E. Westzynthius, « Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind », Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors, vol. 5,‎ 1931, p. 1–37.

Articles connexes[modifier | modifier le code]