Singleton (mathématiques)

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En mathématiques, un ensemble est un singleton lorsqu'il ne contient qu'un seul élément , et il s'écrit alors :

Exemples[modifier | modifier le code]

  • est un singleton de réels.
  • est un singleton de fonctions de variable réelle.
  • est un singleton d'ensemble d'entiers et ne doit pas être confondu avec , qui lui est un singleton d'entiers.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Pour tout ensemble , il n'y a qu'une seule application de dans un singleton, ou encore l'ensemble des applications de dans un singleton est un singleton.

Appartenance d'un élément à un singleton[modifier | modifier le code]

Un élément appartient à un singleton si et seulement si il est égal à l'élément de ce singleton ; ce qui s'écrit mathématiquement :

Égalité de deux singletons[modifier | modifier le code]

Les singletons et sont égaux si et seulement si leurs éléments respectifs sont égaux.

Disjonction de deux singletons[modifier | modifier le code]

Deux singletons et sont disjoints si et seulement si leurs éléments respectifs et sont différents, ce qui revient à dire que les singletons disjoints sont les singletons différents.

Cardinalité d'un singleton[modifier | modifier le code]

Le cardinal d'un singleton est 1, puisque par définition, il ne contient qu'un seul élément.

Confusion possible[modifier | modifier le code]

En mécanique des solides, les torseurs sont notés entre accolades. Ainsi, désigne un torseur statique, et non pas le singleton contenant l'élément . De même, dans ce contexte, {0} désigne le torseur nul et non pas le singleton zéro.

Voir aussi[modifier | modifier le code]