Singleton (mathématiques)

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En mathématiques, un singleton est un ensemble qui comprend exactement un élément. Le singleton dont l'élément est se note .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • est le singleton dont l'élément est le nombre π.
  • est le singleton dont l'élément est le nombre décimal (il se distingue de la paire d'entiers , qui comprend une espace après la virgule).
  • est le singleton dont l'élément est la fonction cos.
  • est le singleton dont l'élément est le couple .
  • est le singleton dont l'élément est le singleton .
  • est le singleton dont l'élément est l'ensemble vide .
  • L'ensemble est le singleton (voir « Ensemble défini en extension »).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Un élément appartient à un singleton si et seulement si il est égal à l'élément de ce singleton : .
  • En théorie des ensembles, l'existence d'un singleton pour tout est justifiée par l'axiome de la paire.
  • Deux singletons sont égaux si et seulement si leurs éléments respectifs sont égaux : .
  • Deux singletons et sont disjoints si et seulement si leurs éléments respectifs et sont différents, ce qui revient à dire que les singletons disjoints sont les singletons différents : .
  • Le cardinal d'un singleton est 1 : .
  • Le produit cartésien d'une famille quelconque de singletons est un singleton. Par exemple : .
  • Pour tout ensemble  :
    • pour tout singleton , il n'y a qu'une application de dans , ou encore : l'ensemble des applications de dans est un singleton ;
    • l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans est un singleton.

Confusions possibles[modifier | modifier le code]

  • Si est un nombre réel, peut aussi désigner sa partie fractionnaire.
  • En mécanique des solides, les torseurs sont notés entre accolades. Ainsi, désigne un torseur statique, et non pas le singleton contenant l'élément . De même, dans ce contexte, désigne le torseur nul et non pas le singleton zéro.