Singleton (mathématiques)

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En mathématiques, un singleton est un ensemble qui comprend exactement un élément. Le singleton dont l'élément est se note .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • est le singleton dont l'élément est le nombre π.
  • (sans espace après la virgule) est le singleton dont l'élément est le nombre décimal .
  • est le singleton dont l'élément est la fonction cos.
  • est le singleton dont l'élément est le couple .
  • est le singleton dont l'élément est le singleton .
  • est le singleton dont l'élément est l'ensemble vide .
  • L'ensemble est le singleton (voir « Ensemble défini en extension »).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Un élément appartient à un singleton si et seulement si il est égal à l'élément de ce singleton : .
  • Deux singletons sont égaux si et seulement si leurs éléments respectifs sont égaux : .
  • Deux singletons et sont disjoints si et seulement si leurs éléments respectifs et sont différents, ce qui revient à dire que les singletons disjoints sont les singletons différents : .
  • Le cardinal d'un singleton est 1 : .
  • L'union de deux singletons différents est une paire: .
  • Le produit cartésien d'une famille quelconque de singletons est un singleton. Par exemple : .
  • Pour tout ensemble  :
    • pour tout singleton , il n'y a qu'une application de dans , ou encore : l'ensemble des applications de dans est un singleton ;
    • l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans est un singleton.

Confusions possibles[modifier | modifier le code]

  • Dans un contexte différent de celui de la théorie des ensembles, désigne la partie fractionnaire du nombre réel .
  • En mécanique des solides, les torseurs sont notés entre accolades. Ainsi, désigne un torseur statique, et non pas le singleton contenant l'élément . De même, dans ce contexte, désigne le torseur nul et non pas le singleton zéro.