Théorie des nombres

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Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs), et contient beaucoup de problèmes ouverts faciles à comprendre, même pour les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés. Ainsi, la citation suivante, de Jürgen Neukirch :

« La théorie des nombres occupe parmi les disciplines mathématiques une position idéalisée analogue à celle qu'occupent les mathématiques elles-mêmes parmi les autres sciences.[1] »

Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé ; pour éviter des confusions, on désignait aussi parfois, jusqu'au début du vingtième siècle, la théorie des nombres par le terme « arithmétique supérieure ». Néanmoins, l'adjectif arithmétique reste assez répandu, en particulier pour désigner des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, arithmétique des courbes et surfaces elliptiques, etc.). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec celui utilisé en logique pour l'étude des systèmes formels axiomatisant les entiers, comme il en est dans l'arithmétique de Peano.

La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.

Les diverses branches de la théorie des nombres[modifier | modifier le code]

Théorie élémentaire des nombres[modifier | modifier le code]

Le terme élémentaire désigne généralement une méthode qui n'use pas d'analyse complexe. Par exemple, le théorème des nombres premiers a été prouvé en utilisant une analyse complexe en 1896, mais la preuve élémentaire n'a été trouvée qu'en 1949 par Erdős et Selberg.[2] Le terme est quelque peu ambigu: par exemple, les preuves basées sur des théorèmes taubériens complexes (par exemple le théorème de Wiener-Ikehara) sont souvent considérées comme très éclairantes mais non élémentaires. Une preuve élémentaire peut être plus longue et plus difficile pour la plupart des lecteurs qu'une preuve non-élémentaire.

La théorie des nombres a la réputation d'être un domaine dont beaucoup de résultats peuvent être compris par le profane. En même temps, les preuves de ces résultats ne sont pas particulièrement accessibles, en partie parce que la gamme d'outils qu'ils utilisent est exceptionnellement large en mathématiques[3].

Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaissent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches, tels les exemples suivants :

La théorie des équations diophantiennes a même été montrée comme étant indécidable.

Théorie analytique des nombres[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie analytique des nombres.
La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s): les couleurs proches du noir indiquent des valeurs proches de zéro, alors que la teinte code l'argument de la valeur.

La théorie analytique des nombres peut être définie :

  • par rapport à ses outils, c'est-à-dire l'étude des entiers au moyen d'outils d'analyse réelle et complexe[4];
  • par rapport à ses intérêts, c'est-à-dire l'étude des estimations sur la taille et la densité, par opposition aux identités[5].

Certains sujets généralement considérés comme faisant partie de la théorie analytique des nombres, par exemple la théorie des cribles, sont définis plutôt par la seconde définition.

L'action du groupe modulaire sur le plan. La région en gris est le domaine fondamental standard.

Voici des exemples de problèmes en théorie analytique des nombres: le théorème des nombres premiers, la conjecture de Goldbach (ou la conjecture des nombres premiers jumeaux ou les conjectures de Hardy-Littlewood), le problème de Waring ou encore l'hypothèse de Riemann[6]. Certains des outils les plus importants de la théorie analytique des nombres sont la méthode du cercle, les méthodes des cribles et les fonctions-L. La théorie des formes modulaires (et plus généralement des formes automorphes) occupe également une place de plus en plus centrale en théorie analytique des nombres[7].

Théorie algébrique des nombres[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

Un nombre algébrique est un nombre complexe qui est solution d'une équation polynomiale à coefficients dans le corps . Par exemple, toute solution de est un nombre algébrique. La théorie algébrique des nombres étudie les champs de nombres algébriques. Ainsi, les théorie analytique et algébrique des nombres peuvent se chevaucher: la première est définie par ses méthodes, la seconde par ses objets d'étude.

Ernst Kummer

Les fondations de cette branche tel que nous la connaissons, ont été établis à la fin du XIXe siècle, lorsque les idéaux et la valuation ont été développés; L'impulsion du développement des idéaux (par Ernst Kummer) semble provenir de l'étude des lois de réciprocité supérieure[8], c'est-à-dire des généralisations de la loi de réciprocité quadratique.

Les corps sont souvent étudiés comme extensions d'autres corps plus petits: un coprs L est dit être une extension d'un corps K si L contient K. La classification des extensions abéliennes a fait l'objet du programme de théorie des corps de classes, initié à la fin du XIXe siècle (en partie par Kronecker et Eisenstein) et réalisé en grande partie en 1900–1950.

La théorie d'Iwasawa est un exemple de domaine de recherche actif en théorie algébrique des nombres. Le programme de Langlands, l'un des principaux programme de recherche actuels à grande échelle en mathématiques, est parfois décrit comme une tentative de généraliser la théorie des corps de classes aux extensions non-abéliennes.

Géométrie diophantienne[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Géométrie diophantienne.

Le problème central de la géométrie diophantienne est de déterminer quand une équation diophantienne a des solutions, et si oui, combien. L'approche adoptée est de considérer les solutions d'une équation comme un objet géométrique.

Par exemple, une équation à deux variables définit une courbe dans le plan. Plus généralement, une équation, ou un système d'équations, à deux ou plusieurs variables définit une courbe, une surface, etc., dans un espace à n dimensions. En géométrie diophantienne, on se demande s'il existe des points rationnels (points dont toutes les coordonnées sont rationnelles) ou des points entiers (points dont toutes les coordonnées sont des entiers) sur la courbe ou la surface. S'il y a de tels points, l'étape suivante consiste à demander combien il y en a et comment ils sont répartis. Une question fondamentale dans cette direction est la suivante : existe-t-il un nombre fini ou infini de points rationnels sur une courbe (ou surface) donnée ? Qu'en est-il des points entiers ?

Un exemple serait l'équation de Pythagore  ; nous voudrions étudier ses solutions rationnelles, c'est-à-dire ses solutions telles que x et y soient tous deux rationnels. Cela revient à demander toutes les solutions entières de  ; toute solution à cette dernière équation nous donne une solution , . Cela est équivalent au fait de demander tous les points à coordonnées rationnelles sur la courbe décrite par . (Cette courbe se trouve être le cercle unité.)

Deux exemples de courbes elliptiques. Celles-ci peuvent être vues comme une tranche d'un tore en quatre dimensions.

La reformulation des questions sur les équations en termes de points sur les courbes s'avère fructueuse. La finitude ou non du nombre de points rationnels ou entiers sur une courbe algébrique, s'avère dépendre de façon cruciale du genre de la courbe. Ce domaine est étroitement lié aux approximations diophantiennes : étant donné un nombre, à quel point peut-il être approché par des rationnels ? (On considère qu'un rationnel , avec a et b premiers entre eux, est une bonne approximation de si , où est grand.) Cette question est d'un intérêt particulier si est un nombre algébrique. Si ne peut pas être bien approximé, alors certaines équations n'ont pas de solutions entières ou rationnelles. De plus, plusieurs concepts s'avèrent cruciaux à la fois en géométrie diophantienne et dans l'étude des approximations diophantiennes. Cette question est également d'un intérêt particulier en théorie des nombres transcendants : si un nombre peut être mieux approché que n'importe quel nombre algébrique, alors c'est un nombre transcendant. C'est par cet argument qu'il a été démontré que et sont transcendants.

La géométrie diophantienne ne doit pas être confondue avec la géométrie des nombres, qui est une collection de méthodes graphiques pour répondre à certaines questions de la théorie algébrique des nombres. Le terme de géométrie arithmétique est sans doute le plus souvent utilisé lorsque l'on veut mettre l'accent sur les liens avec la géométrie algébrique moderne (comme le théorème de Faltings) plutôt que sur les techniques des approximations diophantiennes.

Approches et branches récentes[modifier | modifier le code]

Théorie probabiliste des nombres[modifier | modifier le code]

En prenant un nombre au hasard entre un et un million, quelle est la probabilité qu'il soit premier? C'est juste une autre façon de demander combien il y a de nombres premiers entre un et un million. Et combien de diviseurs aura-t-il, en moyenne?

Une grande partie de la théorie probabiliste des nombres peut être considérée comme une branche de l'étude de variables qui sont presque indépendantes les unes des autres. Parfois, une approche probabiliste non rigoureuse conduit à un certain nombre d'algorithmes heuristiques et de problèmes ouverts, notamment la conjecture de Cramér.

Théorie combinatoire des nombres[modifier | modifier le code]

Soit A un ensemble de N entiers. Considérons l'ensemble A + A = { m + n | m, nA } constitué de toutes les sommes de deux éléments de A. A + A est-il beaucoup plus grand que A? À peine plus grand? A ressemble-t-il à une suite arithmétique? Si nous partons d'un ensemble infini A assez grand, contient-il beaucoup d'éléments dans la progression arithmétique  ?

Ces questions sont caractéristiques de la théorie combinatoire des nombres. Son intérêt pour les questions de croissance et de distribution tient en partie au développement de ses liens avec la théorie ergodique, la théorie des groupes finis, la théorie des modèles et d'autres domaines. Les ensembles étudiés n'ont pas besoin d'être des ensembles d'entiers, mais plutôt des sous-ensembles de groupes non commutatifs, pour lesquels le symbole de multiplication, et non le symbole d'addition, est traditionnellement utilisé; ils peuvent également être des sous-ensembles d'anneaux.

Théorie algorithmique des nombres[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie algorithmique des nombres.

Il y a deux questions principales: « pouvons-nous calculer cela? » et « pouvons-nous le calculer rapidement? ». N'importe qui peut tester si un nombre est premier ou, si ce n'est pas le cas, obtenir sa décomposition en facteurs premiers; le faire rapidement devient plus compliqué. Nous connaissons aujourd'hui des algorithmes rapides pour tester la primalité, mais, malgré beaucoup de travail (à la fois théorique et pratique), aucun algorithme n'est vraiment rapide pour cette tâche.

La difficulté d'un calcul peut être utile: les protocoles modernes de cryptage de messages (par exemple, le RSA) dépendent de fonctions connues de tous, mais dont les inverses ne sont connus que d'un petit nombre, et les trouver par ses propres moyens prendrait trop de temps. Alors que de nombreux problèmes de calcul en dehors de la théorie des nombres sont connus, la plupart des protocoles de chiffrement actuels sont basés sur la difficulté de quelques problèmes théoriques.

Il s'avère que certaines choses peuvent ne pas être calculables du tout; cela peut être prouvé dans certains cas. Par exemple, en 1970, il a été prouvé, donnant ainsi une réponse au solution au 10e problème de Hilbert, qu'il n'existe pas de machine de Turing capable de résoudre toutes les équations diophantiennes[9]. Cela signifie que, compte tenu d'un ensemble d'axiomes calculables et énumérables, il existe des équations diophantiennes pour lesquelles il n'existe aucune démonstration, à partir des axiomes, de savoir si l'ensemble des équations a ou non des solutions entières.

Histoire[modifier | modifier le code]

Origines[modifier | modifier le code]

Aube de l'arithmétique[modifier | modifier le code]

La tablette Plimpton 322.

La découverte historique d'une nature arithmétique est un fragment de tableau: la tablette d'argile brisée Plimpton 322 (Larsa, Mésopotamie, vers 1800 avant notre ère) contient une liste « triplets pythagoriciens », c'est-à-dire des entiers tels que [10]. Ceux-ci sont trop grand pour avoir été obtenu par force brute[11]. La disposition de la tablette suggère[12] qu'il a été construit au moyen de ce qui équivaut, dans un langage moderne, à l'identité[13]

Alors que la théorie des nombres babylonienne consiste en ce seul fragment, l'algèbre babylonienne (au sens de « l'algèbre » des études secondaires) était exceptionnellement bien développée.[14] Pythagore aurait appris les mathématiques auprès des Babyloniens[15]. Beaucoup de sources antérieures[16] déclare que Thalès et Pythagore ont voyagé et étudié en Égypte.

La découverte de l'irrationalité est attribué aux premiers pythagoriciens[17][18][19]. Cette découverte semble avoir provoqué la première crise de l'histoire mathématique; sa preuve et sa diffusion sont parfois attribuées à Hippase, qui a été expulsé de la secte pythagoricienne.[20] Cela a forcé à faire une distinction entre les nombres (entiers et rationnels), d'une part, et les longueurs et les proportions (nombres réels), d'autre part.[21]

Le théorème des restes chinois apparaît comme un exercice dans le traité Sunzi Suanjing (IIIe, IVe, ou Ve siècle av. J.-C.)[22],[23].

Grèce antique et début de l'époque hellénistique[modifier | modifier le code]

En dehors de quelques fragments, les mathématiques de la Grèce antique nous sont connues soit par les rapports de non-mathématiciens contemporains ou à travers des œuvres mathématiques de la période hellénistique.[24] Dans le cas de la théorie des nombres, cela inclus Platon et Euclide. Platon s'intéressait aux mathématiques et distinguait nettement l'arithmétique et le calcul. (Par arithmétique, il entendait la théorisation sur le nombre.) C'est à travers un des dialogues de Platon, Théétète, que nous savons que Théodore a prouvé que sont des nombres irrationnels. Théétète était, comme Platon, un disciple de Théodore; il a travaillé sur la distinction des différents types de commensurabilité, et était donc sans doute un pionnier dans l'étude des systèmes numériques.

Euclide a consacré une partie de ses Éléments aux nombres premiers et à la divisibilité, sujets centraux en théorie des nombres (Livres VII à IX des Éléments d'Euclide). En particulier, il a donné un algorithme pour calculer le plus grand commun diviseur de deux nombres (Éléments, Prop. VII.2) et la première preuve connue de l’existence d'une infinité des nombres premiers (Éléments, Prop. IX.20).

Diophante[modifier | modifier le code]

Page de couverture de l'édition de 1621 d'Arithmetica de Diophante, traduite en latin par Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Nous ne savons que très peu de choses sur Diophante d'Alexandrie; il a probablement vécu au troisième siècle de notre ère, c'est-à-dire environ cinq cents ans après Euclide. L'Arithmetica est une collection de problèmes où la tâche est de trouver des solutions rationnelles à des équations polynomiales, généralement de la forme ou ou . Ainsi, de nos jours, on parle d'équations diophantiennes quand on parle d'équations polynomiales auxquelles on doit trouver des solutions rationnelles ou entières.

Tandis que Diophante s'intéressait surtout aux solutions rationnelles, il émettait des conjectures sur les entiers naturels, comme le fait que chaque entier est la somme de quatre carrés.

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara[modifier | modifier le code]

Alors que l'astronomie grecque a probablement influencé l'apprentissage indien, au point d'introduire la trigonométrie[25], il semble que les mathématiques indiennes soient une tradition indigène[26]; en effet, il n'y a aucune preuve que les éléments d'Euclide ont atteint l'Inde avant le XVIIIe siècle.[27]

Āryabhaṭa (476–550 avant J.C.) a montré que les paires de congruences , pouvaient être résolues par une méthode qu'il a appelé kuṭṭaka[28]; c'est une procédure proche et généralisée de l'algorithme d'Euclide, qui a probablement été découvert indépendamment en Inde.[29][25] Brahmagupta (628 avant J.C.) a commencé l'étude des équations quadratiques, en particulier l'équation de Pell-Fermat, à laquelle Archimède s'était déjà intéressé, et qui n'a pas commencé à être résolu en Occident avec Fermat et Euler. Une procédure générale (la méthode chakravala) pour résoudre l'équation de Pell-Fermat a été trouvée par Jayadeva (cité au XIe siècle, son travail est perdu); la première exposition survivante apparaît dans Bīja-gaṇita de Bhāskara II.[30]Les mathématiques indiennes sont restées inconnues en Europe jusqu'à la fin du XVIIIe siècle;[31] Le travail de Brahmagupta et Bhāskara a été traduit en anglais en 1817 par Henry Colebrooke.[32]

Arithmétique à l'âge d'or islamique[modifier | modifier le code]

Johannes Hevelius, Selenographia (Gdansk, 1647). Représentations d'Alhasen, Ibn al-Haytham, à gauche, tenant un diagramme géométrique symbolisant la connaissance par la raison et Galilée à droite, tenant un télescope et symbolisant la connaissance par les sens.

Au début du IXe siècle, le calife Al-Ma'mun ordonna la traduction de nombreuses œuvres mathématiques grecques et d'au moins une œuvre sanscrite (le Sindhind, qui pourrait[33] ou non[34] être le Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta). L'œuvre principale de Diophante, l'Arithmetica, a été traduite en arabe par Qusta ibn Luqa (820-912). Selon Rashed Roshdi, un contemporain d'Al-Karajī Ibn al-Haytham connaissait[35] ce qui sera plus tard appeler le théorème de Wilson.

L'Europe de l'Ouest au Moyen Âge[modifier | modifier le code]

Autre un traité sur les carrés en progression arithmétique par Fibonacci, aucun progrès en théorie des nombres ne fut effectuée en Europe de l'Ouest au Moyen Âge. Les choses ont commencé à changer en Europe à la fin de la Renaissance, grâce à une étude renouvelée des œuvres de l'Antiquité grecque.

Théorie des nombres moderne[modifier | modifier le code]

Fermat[modifier | modifier le code]

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1601–1665) n'a jamais publié ses écrits; en particulier, son travail sur la théorie des nombres est contenu presque entièrement dans des lettres aux mathématiciens et dans les notes et marges privées.[36] Il n'a presque écrit aucune démonstrations en théorie des nombres; Il n'avait aucun modèle dans le domaine[37]. Il a fait un usage répété du raisonnement par récurrence, en introduisant la méthode de descente infinie.

Un des premiers intérêts de Fermat était les nombres parfaits (qui apparaissent dans les Éléments IX d'Euclide) et des nombres amicaux; ceci l'amène à travailler sur des diviseurs entiers, qui furent dès le début parmi les sujets de la correspondance (1636 et suivants) qui le mettent en contact avec la communauté mathématique de l'époque[38]. Il avait déjà étudié attentivement l'édition de Bachet de Diophante;[39] après 1643, ses intérêts se sont portés vers les problèmes diophantiens et somme de carrés[40] (aussi traités par Diophante).

Les résultats de Fermat en arithmétque inclus :

  • Le petit théorème de Fermat (1640)[41], indiquant que, si a n'est pas divisible par un nombre premier p, alors
  • Si a et b ne sont pas premiers entre eux, n'est pas divisble par n'importe quel nombre premier congru à 1 modulo 4[42]; et tout nombre premier congru à 1 modulo 4 peut être écrit sous la forme .[43] Ces deux énoncé datent de 1640; en 1659, Fermat a écrit à Huygens qu'il avait prouvé la dernière déclaration par la méthode de descente infinie.[44] Fermat et Frenicle ont fait quelques travaux (certains erronés) sur d'autres formes quadratiques.[45]
  • Fermat a posé le problème de la résolution de comme un défi pour les mathématiciens anglais (1657). Le problème a été résolu en quelques mois par Wallis et Brouncker.[46] Fermat a considéré leur solution valide, mais a souligné qu'ils avaient fourni un algorithme sans preuve (comme Jayadeva et Bhaskara, bien que Fermat ne le saurait jamais). Il déclare qu'une preuve peut être trouvée par descente infinie.
  • Fermat déclare et prouve (par descendance) en appendice aux observations sur Diophante (Obs XLV) que l'équation diophantienne n'a pas de solutions non-triviales dans les entiers.[47] Fermat a également mentionné à ses correspondants qu'il n'y a pas de solutions non triviales à , et que cela pourrait être prouvé par descente infinie.[48] La première preuve connue est due à Euler (1753, par descente).[49]

La déclarations de Fermat (« dernier théorème de Fermat ») d'avoir montré qu'il n'y a pas de solutions à l'équation pour tout apparaît seulement en marge d'une copie d'Arithmetica de Diophante.

Euler[modifier | modifier le code]

Leonhard Euler

L'intérêt de Leonhard Euler (1707-1783) pour la théorie des nombres fut d'abord stimulé en 1729, quand un de ses amis, l'amateur Goldbach, l'orienta vers une partie du travail de Fermat sur le sujet.[50][51] Cela a été appelé la « renaissance » de la théorie moderne des nombres[39], après le relatif manque de succès de Fermat pour attirer l'attention de ses contemporains sur le sujet[52]. Le travail d'Euler sur la théorie des nombres comprend les éléments suivants[53]:

  • Preuves des déclarations de Fermat. Cela inclut le petit théorème de Fermat (généralisé par Euler aux modules non-premiers); le fait que si et seulement si ; un travail en vu d'une preuve du théorème des quatre carrés (la première preuve complète est de Joseph-Louis Lagrange (1770), ensuite améliorée par Euler lui-même[54]); l'absence de solutions entières non nulles à (impliquant le cas n=4 du dernier théorème de Ferma, le cas n=3 à aussi été traité par Euler).
  • L'équation de Pell-Fermat[55], et de son lien aux fractions continues.[56]
  • Premiers pas vers la théorie analytique des nombres. Dans son travail de sommes de quatre carrés, de partitions, de nombres pentagonaux et de la distribution des nombres premiers, Euler fut le pionnier de l'utilisation de ce qui peut être vu comme une analyse (en particulier, des séries infinies) en théorie des nombres. Il a effectué un travail précoce remarquable (mais non-entièrement rigoureux) sur ce que l'on appellera plus tard la fonction zêta de Riemann[57].
  • Formes quadratiques. À la suite de Fermat, Euler a poursuivi ses recherches sur la question de savoir quels nombres premiers pouvaient être exprimés sous la forme , préfigurant alors la loi de réciprocité quadratique.[58][59][60]
  • Équations diophantiennes. Euler a travaillé sur quelques équations diophantiennes.[61][62] En particulier, il a étudié le travail de Diophante, et a essayé de le systématiser, mais le temps n'était pas encore mûr pour un tel effort—la géométrie algébrique était encore à ses balbutiements.[63] Il remarqua qu'il y avait un lien entre les problèmes diophantiens et les intégrales elliptiques, dont il avait lui-même initié l'étude.[63]

Lagrange, Legendre, et Gauss[modifier | modifier le code]

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) fut le premier à donner des preuves complètes à certains travaux et observations de Fermat et Euler – par exemple, le théorème des quatre carrés et la théorie de l'équation de Pell-Fermat. Il a également étudié les formes quadratiques définissant leur relation d'équivalence, montrant comment les mettre sous forme réduite, etc. Adrien-Marie Legendre (1752–1833) fut le premier à énoncer la loi de réciprocité quadratique. Il a également conjecturé ce qui équivaut aujourd'hui au théorème des nombres premiers et au théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques. Il a donné une analyse complète de l'équation .[64][65] Durant la fin de sa vie, il fut le premier à prouver le dernier théorème de Fermat pour .[66]

Carl Friedrich Gauss

Dans ses Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a démontré la loi de réciprocité quadratique et développé la théorie des formes quadratiques. Il a également introduit la notation de congruence et a consacré une section aux tests de primalité.[67] La dernière section des Disquisitiones établit un lien entre les racines de l'unité et la théorie des nombres[68]. De cette façon, Gauss a sans doute amorcé le travail d'Évariste Galois et de la théorie algébrique des nombres.

Division en sous-domaines[modifier | modifier le code]

Commençant au début du XIXe siècle, les développements suivants ont progressivement eu lieu :

Citation[modifier | modifier le code]

La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. Gauss

Sources[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Number theory » (voir la liste des auteurs).

Références[modifier | modifier le code]

  1. Introduction à l'ouvrage Cohomology of Number Fields. « Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften. »
  2. Goldfeld 2003.
  3. See, e.g., the initial comment in Iwaniec et Kowalski 2004, p. 1.
  4. a et b Apostol 1976, p. 7.
  5. Granville 2008, section 1: "The main difference is that in algebraic number theory [...] one typically considers questions with answers that are given by exact formulas, whereas in analytic number theory [...] one looks for good approximations."
  6. Granville 2008, section 3: "[Riemann] defined what we now call the Riemann zeta function [...] Riemann's deep work gave birth to our subject [...]"
  7. See the remarks in the introduction to Iwaniec et Kowalski 2004, p. 1: "However much stronger...".
  8. Edwards 2000, p. 79.
  9. Martin Davis, Yuri Matiyasevich et Julia Robinson, Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, vol. XXVIII.2, American Mathematical Society, coll. « Proceedings of Symposia in Pure Mathematics », , 323–378 p. (ISBN 0-8218-1428-1, zbMATH 0346.02026), « Hilbert's Tenth Problem: Diophantine Equations: Positive Aspects of a Negative Solution » Reprinted in The Collected Works of Julia Robinson, Solomon Feferman, editor, pp.269–378, American Mathematical Society 1996.
  10. Neugebauer (Neugebauer 1969) discusses the table in detail and mentions in passing Euclid's method in modern notation (Neugebauer 1969, p. 39).
  11. Neugebauer & Sachs 1945, p. 40. The term takiltum is problematic. Robson prefers the rendering "The holding-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up...".Robson 2001, p. 192
  12. Robson 2001, p. 189. Other sources give the modern formula . Van der Waerden gives both the modern formula and what amounts to the form preferred by Robson.(van der Waerden 1961, p. 79)
  13. van der Waerden 1961, p. 184.
  14. van der Waerden 1961, p. 43.
  15. Iamblichus, Life of Pythagoras, (trans. e.g. Guthrie 1987) cited in van der Waerden 1961, p. 108. Voir aussi Porphyry, Life of Pythagoras, paragraph 6, in Guthrie 1987, paragraphe 6 Van der Waerden (van der Waerden 1961) sustains the view that Thales knew Babylonian mathematics.
  16. Herodotus (II. 81) and Isocrates (Busiris 28), cited in: Huffman 2011. On Thales, see Eudemus ap. Proclus, 65.7, (e.g. Morrow 1992, p. 52) cited in: O'Grady 2004, p. 1. Proclus was using a work by Eudemus of Rhodes (now lost), the Catalogue of Geometers. Voir aussi introduction, Morrow 1992, p. xxx on Proclus's reliability.
  17. Plato, Theaetetus, p. 147 B, (e.g. Jowett 1871), cited in von Fritz 2004, p. 212: "Theodorus was writing out for us something about roots, such as the roots of three or five, showing that they are incommensurable by the unit;..." Voir aussi Spiral of Theodorus.
  18. van der Waerden 1961, p. 109.
  19. Becker 1936.
  20. von Fritz 2004.
  21. Heath 1921, p. 76.
  22. Sunzi Suanjing, Chapter 3, Problem 26. This can be found in Lam et Ang 2004, p. 219–220, which contains a full translation of the Suan Ching (based on Qian 1963). Voir aussi the discussion in Lam et Ang 2004, p. 138–140.
  23. The date of the text has been narrowed down to 220–420 AD (Yan Dunjie) or 280–473 AD (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text). See Lam et Ang 2004, p. 27–28.
  24. Boyer et Merzbach 1991, p. 82.
  25. a et b Plofker 2008, p. 119.
  26. Any early contact between Babylonian and Indian mathematics remains conjectural (Plofker 2008, p. 42).
  27. Mumford 2010, p. 387.
  28. Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: Plofker 2008, p. 134–140. Voir aussi Clark 1930, p. 42–50. A slightly more explicit description of the kuṭṭaka was later given in Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3–5 (in Colebrooke 1817, p. 325, cited in Clark 1930, p. 42).
  29. Mumford 2010, p. 388.
  30. Plofker 2008, p. 194.
  31. Plofker 2008, p. 283.
  32. Colebrooke 1817.
  33. Colebrooke 1817, p. lxv, cited in Hopkins 1990, p. 302. Voir aussi the preface in Sachau 1888 cited in Smith 1958, p. 168
  34. Pingree 1968, p. 97–125, and Pingree 1970, p. 103–123, cited in Plofker 2008, p. 256.
  35. Rashed 1980, p. 305–321.
  36. Weil 1984, p. 45–46.
  37. Weil 1984, p. 118. This was more so in number theory than in other areas (remark in Mahoney 1994, p. 284). Bachet's own proofs were "ludicrously clumsy" (Weil 1984, p. 33).
  38. Mahoney 1994, p. 48, 53–54. The initial subjects of Fermat's correspondence included divisors ("aliquot parts") and many subjects outside number theory; see the list in the letter from Fermat to Roberval, 22.IX.1636, Tannery et Henry 1891, Vol. II, pp. 72, 74, cited in Mahoney 1994, p. 54.
  39. a et b Weil 1984, p. 1–2.
  40. Weil 1984, p. 53.
  41. Tannery et Henry 1891, Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984, p. 56
  42. Tannery et Henry 1891, Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984, p. 63. All of the following citations from Fermat's Varia Opera are taken from Weil 1984, Chap. II. The standard Tannery & Henry work includes a revision of Fermat's posthumous Varia Opera Mathematica originally prepared by his son (Fermat 1679).
  43. Tannery et Henry 1891, Vol. II, p. 213.
  44. Tannery et Henry 1891, Vol. II, p. 423.
  45. Weil 1984, p. 80, 91–92.
  46. Weil 1984, p. 92.
  47. Tannery et Henry 1891, Vol. I, pp. 340–341.
  48. Weil 1984, p. 115.
  49. Weil 1984, p. 115–116.
  50. Weil 1984, p. 2, 172.
  51. Varadarajan 2006, p. 9.
  52. Weil 1984, p. 2 and Varadarajan 2006, p. 37
  53. Varadarajan 2006, p. 39 and Weil 1984, p. 176–189
  54. Weil 1984, p. 178–179.
  55. Weil 1984, p. 174. Euler was generous in giving credit to others (Varadarajan 2006, p. 14), not always correctly.
  56. Weil 1984, p. 183.
  57. Varadarajan 2006, p. 45–55; see also chapter III.
  58. Varadarajan 2006, p. 44–47.
  59. Weil 1984, p. 177–179.
  60. Edwards 1983, p. 285–291.
  61. Varadarajan 2006, p. 55–56.
  62. Weil 1984, p. 179–181.
  63. a et b Weil 1984, p. 181.
  64. Weil 1984, p. 327–328.
  65. Weil 1984, p. 332–334.
  66. Weil 1984, p. 337–338.
  67. Goldstein et Schappacher 2007, p. 14.
  68. From the preface of Disquisitiones Arithmeticae; the translation is taken from Goldstein et Schappacher 2007, p. 16
  69. See the discussion in section 5 of Goldstein et Schappacher 2007. Early signs of self-consciousness are present already in letters by Fermat: thus his remarks on what number theory is, and how "Diophantus's work [...] does not really belong to [it]" (quoted in Weil 1984, p. 25).
  70. Davenport et Montgomery 2000, p. 1.
  71. See the proof in Davenport et Montgomery 2000, section 1
  72. Iwaniec et Kowalski 2004, p. 1.
  73. Varadarajan 2006, sections 2.5, 3.1 and 6.1.
  74. Granville 2008, p. 322–348.
  75. See the comment on the importance of modularity in Iwaniec et Kowalski 2004, p. 1

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