Base (arithmétique)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir base.

En arithmétique, une base désigne la valeur dont les puissances successives interviennent dans l'écriture des nombres dans la numération positionnelle N-adique, ces puissances définissant l'ordre de grandeur de chacune des positions occupées par les chiffres composant tout nombre. Par commodité, on utilise usuellement, pour les bases entières à partir de deux, un nombre de chiffres égal à la base. En effet, l'écriture d'un nombre en base N à l'aide de N chiffres allant de 0 à N – 1 correspond à son développement en base N.

Bases courantes[modifier | modifier le code]

Certaines bases sont couramment employées :

De nombreuses bases sont, et ont été, aussi utilisées par différents peuples ; consulter « Numération » pour plus de détails.

Bien que peu utilisée, la base trente a l'intérêt d'exprimer simplement le résultat de la majorité des petites fractions (à dénominateurs de la forme 2p.3q.5r) et factorielles. De plus, à la différence de la base 60, elle peut être représentée à l'aide des dix chiffres usuels et des vingt premières lettres de l'alphabet.

Pour des applications spécifiques, l'informatique peut utiliser des bases ad hoc : pour un entier représenté par une chaîne d'octets, on peut considérer un octet comme un chiffre en base 256 ; on peut voir un identificateur comme un nombre en base 40 ; pour des applications décimales, on peut avoir avantage à utiliser une base 1000.

Symboles utilisés[modifier | modifier le code]

Pour les bases jusqu'à 10 inclus, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Au-delà, on utilise les lettres. Par exemple, pour la base 16, les symboles utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

L'usage du zéro positionnel est une convention pratique et élégante, mais non nécessaire pour représenter les entiers naturels, comme l'illustre le système décimal sans zéro. Il est, par contre, indispensable pour généraliser l'écriture positionnelle aux nombres fractionnaires.

Notations courantes[modifier | modifier le code]

Pour n'importe quelle base, on a l'habitude de l'indiquer en indice du nombre. Par exemple 1001112 pour le nombre dont le développement en base 2 est 100111, ou encore 1728 pour le nombre dont le développement en base 8 est 172.

En plus de cette notation, il en existe d'autres, notamment employées en informatique.

  • Base 8 : on peut indiquer le nombre avec un zéro au début. Par exemple 0157 pour 1578.
  • Base 16 : on peut indiquer de diverses manières qu'un nombre est en hexadécimal (voir tableau ci-dessous). Une autre écriture courante est l'ajout du suffixe « h » à la fin du nombre, ce qui avec notre exemple donne AE4Fh.
Préfixe Exemple Langages
0x 0xAE4F C, C++, Java
$ $AE4F Pascal
&h &hAE4F Basic
# #AE4F HTML

Conversion d'une base à une autre[modifier | modifier le code]

Un nombre dans une base donnée s'écrit sous la forme d'additions des puissances successives de cette base.

  • Le nombre en base , constitué des chiffres , ..., , , , peut aussi s'écrire sous la forme , c'est-à-dire un polynôme dont les coefficients sont les chiffres et l'inconnue est la base.

Lorsqu'on veut passer d'une base à une autre, on utilisera deux méthodes (algorithmes), suivant que l'on sait calculer dans la base de départ ou dans la base d'arrivée.

Si l'on sait calculer dans la base de départ, des divisions entières successives par la base donneront en restes les chiffres du résultat, en commençant par les unités. Plus précisément :

(le nombre à convertir) ;  ;
tant que faire

les sont les chiffres du nombre converti, en partant des unités.

Si l'on sait calculer dans la base d'arrivée, on évalue le polynôme (en représentant les coefficients et la base de départ dans la base d'arrivée). La méthode de Horner est généralement utilisée :

 ;  ;
pour à faire  ;

est le nombre dans la base d'arrivée.

Si on ne sait calculer ni dans la base de départ ni dans celle d'arrivée, on passe par une base intermédiaire où l'on sait calculer.

Si la base d'arrivée est une puissance r-ième de la base de départ (exemple : de la base 2 à la base 16), on peut convertir chaque groupe de r chiffres en un chiffre, localement et directement.

Systèmes balancés[modifier | modifier le code]

Un système numérique de base 2N ou 2N + 1 peut également être doté des 2N + 1 chiffres signés N, … , 2, 1, 0, 1, 2, … , N. On parle alors de système balancé ou symétrique.

Bases non standard[modifier | modifier le code]

On peut également employer des bases :

  • négatives, pour lesquelles les nombres sont signés mais pas les chiffres ;
  • non entières (en), on parle alors de bêta-numération (la base d'or en est un exemple) ;
  • imaginaires ou autres bases complexes (en) (par exemple, le système quater-imaginaire, dans lequel tout nombre complexe peut se développer, est une généralisation aux complexes du développement binaire) ;
  • mixtes (en), pour lesquels la base varie d'une position à une autre. Par exemple dans la notation 1121616178, le terme 178 correspond à la notation en base 8 de 1×8 + 7 = 15, 1616 (en base 16) à 1×16 + 6 = 22 et 112 (en base 2) à {{{1}}} au total, le nombre représenté est donc égal à 15 + (22×8) + (3×16×8) = 575.
    Un usage courant de notation en base mixte est celui des dates notamment dans le format ISO 8601 tel qu'il est par exemple utilisé au Canada : 2014-08-29 est un simplification de la notation 201408122930 qui indique que le nombre de jours est transcrit selon une base trigésimale (env. 30 jours par mois) et les mois selon une base duodécimale.

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

  • Zéro s'écrit 0 dans toutes les bases.
  • De la même manière, le nombre un s'écrit 1 dans toutes les bases, puisque quelle que soit la base, base0 égale 1.
  • L'égalité «  » est vraie dans toutes les bases naturelles strictement supérieures à 2.
  • En base dix, un nombre est pair s'il se termine par un multiple de 2, c'est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 ; en base 2, il est pair s'il se termine par 0. Inversement, en base dix, un nombre est impair s'il se termine par un chiffre impair, soit 1, 3, 5, 7 ou 9, et en base deux s'il se termine par 1.
  • L'alternance des chiffres 0 et 1 en binaire se fait avec les chiffres 5 ou A en hexadécimal.
55516 = 0101010101012
AAA16 = 1010101010102
  • Un nombre s'écrivant de la même façon dans deux bases naturelles différentes est plus grand dans la plus grande base.
5716 (=8710) > 5710 > 578 (=4710)
  • De même, un grand nombre aura besoin de moins de chiffres pour s'écrire dans une grande base naturelle que dans une petite.
F424016 (5 chiffres) = 1 000 00010 (7 chiffres) = 1111 0100 0010 0100 00002 (20 chiffres)
  • 10n < 1 si la base n appartient à l'intervalle ]0, 1[,[réf. nécessaire] 101 = 1, et 10n > 1 si la base n appartient à l'intervalle ]1, +∞[.
  • La base s'écrit dans toutes les bases. 102 = 2, 1016 = 16, 1060 = 60.
  • En base N, un nombre est divisible par N – 1 (resp. par un diviseur d de N – 1) si la somme de ses chiffres est divisible par N – 1 (resp. par d) (exemple connu : la divisibilité par 3 ou par 9 en base 10).

Culture[modifier | modifier le code]

  • Boby Lapointe avait imaginé un usage comique du système hexadécimal, qu'il avait baptisé Système Bibi-binaire. Ce système présentait l'avantage de rendre les nombres binaires faciles à prononcer et à mémoriser.
  • La RFC 1924[2] propose la base 85 pour la notation des adresses IPv6, mais ce n'est qu'un poisson d'avril.
  • Dans le jeu vidéo Portal, lors du combat final, GLaDOS annonce que 2 + 2 font 10, avant de se rattraper en complétant par « … en base 4 ! tout va bien. »
  • Les Shadoks comptent en quaternaire.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Ahmed Djebbar, L'algèbre arabe : genèse d'un art, Vuibert, , p. 21.
  2. RFC 1924.