Nombre premier de Wieferich

En mathématiques, un nombre premier de Wieferich est un nombre premier p tel que p² divise 2^p–1 – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier p > 2 divise, entre autres, 2^p–1 – 1). Les nombres premiers de Wieferich furent décrits en premier par Arthur Wieferich en 1909 dans ses travaux^[1] relatifs au dernier théorème de Fermat.

La recherche des nombres premiers de Wieferich[modifier | modifier le code]

Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1093 et 3511 (suite A001220 de l'OEIS), découverts par Waldemar Meissner en 1913^[2] et N. G. W. H. Beeger (en) en 1922^[3], respectivement ; si d'autres existent, ils doivent être supérieurs à 1,47 × 10¹⁷ (meilleur résultat connu en 2014)^[4]^,^[5]. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini. Joseph H. Silverman a seulement pu démontrer, en 1988^[6], que si la conjecture abc est vraie, alors pour tout entier a > 1, il existe une infinité de nombres premiers p tel que p² ne divise pas a^p–1 – 1 (et donc qu'il existe une infinité de nombres premiers qui ne sont pas de Wieferich).

Propriétés des nombres premiers de Wieferich[modifier | modifier le code]

On sait qu'un facteur premier p d'un nombre de Mersenne M_q = 2^q – 1 ne peut être premier de Wieferich que si p² divise M_q ; on en déduit immédiatement qu'aucun nombre de Mersenne premier n'est premier de Wieferich. Aussi, si p est un nombre premier de Wieferich, alors $2^{p^{2}}\equiv 2\,\mod p^{2}\,$ .

Les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat[modifier | modifier le code]

Le théorème suivant connectant les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat fut prouvé par Wieferich en 1909 :

Soit p un nombre premier, et soient x, y, z des entiers tels que x^p + y^p + z^p = 0 et que p ne divise pas le produit xyz. Alors p est un nombre premier de Wieferich.

En 1910, Mirimanoff put étendre le théorème en montrant que, si les hypothèses du théorème sont vraies pour un certain nombre premier p, alors p² doit aussi diviser 3^p–1-1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wieferich prime » (voir la liste des auteurs).

↑ (de) A. Wieferich, « Zum letzten Fermat'schen Theorem », J. reine angew. Math., vol. 136,‎ 1909, p. 293-302.
↑ (de) W. Meissner, « Über die Teilbarkeit von 2^p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p = 1093 », Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Berlin, 1913, p. 663-667.
↑ (en) N. G. W. H. Beeger, « On a new case of the congruence 2^{p − 1} = 1 (p²) », Messenger of Mathematics, vol. 51,‎ 1922, p. 149-150 (lire en ligne).
↑ (en) F. G. Dorais et D. Klyve, « A Wieferich Prime Search Up to 6.7 × 10¹⁵ », Journal of Integer Sequences, vol. 14, n^o 9,‎ 2011 (lire en ligne).
↑ (en) Sur PrimeGrid : résumé de l'historique ; état actuel de la recherche
↑ (en) J. H. Silverman, « Wieferich's criterion and the abc-conjecture », Journal of Number Theory, vol. 30, n° 2, 1988, p. 226-237.