Nombre de Cullen

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, le n-ième nombre de Cullen l'entier Cn := n2n + 1. Les nombres de Cullen furent étudiés en premier par le jésuite irlandais James Cullen en 1905[1]. Ils forment la suite d'entiers A002064 de l'OEIS : 1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, etc.[2].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tous les Cn pour n > 0 sont des nombres de Proth.

Presque tous[3] les nombres de Cullen sont composés ; les seuls nombres de Cullen premiers connus sont ceux correspondant aux seize valeurs suivantes de l'indice n :

1, 141, 4 713, 5 795, 6 611, 18 496, 32 292, 32 469, 59 656, 90 825, 262 419, 361 275, 481 899, 1 354 828, 6 328 548 et 6 679 881 (suite A005849).

Cependant, on conjecture qu'il en existe une infinité d'autres[4].

Le plus grand nombre de Cullen premier connu est 6 679 881 × 26 679 881 + 1. C'est un méganombre premier avec 2 010 852 chiffres (en base dix) et il a été découvert en 2009 par un participant japonais du projet PrimeGrid[5].

Il découle du petit théorème de Fermat que si p est un nombre premier impair, alors p divise Cm(k) pour m(k) = (2k − k)(p − 1) − k, pour tout k ≥ 0[4].

Ce nombre p divise[4] :

  • si le symbole de Legendre est –1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 3 ;
  • si le symbole de Legendre est +1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 1.

On ignore s'il existe un nombre premier p tel que Cp soit aussi premier[4].

Variantes[modifier | modifier le code]

Certains auteurs appellent « nombres de Cullen généralisés[4] » les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme nbn + 1, où n + 2 > b.

Les nombres de Woodall sont quelquefois appelés « nombres de Cullen de deuxième espèce[4] ».

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cullen number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) J. Cullen, « Question 15897 », Educ. Times, décembre 1905, p. 534.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Cullen Number », MathWorld, omet C0 = 1.
  3. (en) Christopher Hooley (en), Applications of Sieve Methods to the Theory of Numbers, CUP, (ISBN 978-0-521-20915-1, zbMATH 0327.10044), p. 115-119.
  4. a, b, c, d, e et f (en) « Cullen prime », sur Prime Pages' Glossary.
  5. (en) « PrimeGrid’s Cullen Prime Search found a world record Cullen Mega Prime ».