Nombre de Lucas

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En mathématiques, la suite des nombres de Lucas est, parmi les suites de Lucas, qui vont par couples, celle associée à la suite de Fibonacci. Elle est donc définie par la même relation de récurrence linéaire :

mais par deux valeurs initiales différentes : au lieu de 0 et 1,

Premières valeurs[modifier | modifier le code]

Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir de n = 1. Ses dix premiers termes (pour n de 0 à 9) sont 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 et 76 (pour n jusqu'à 500, voir la suite A000032 de l'OEIS).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Relation entre un nombre de Lucas et le nombre d’or[modifier | modifier le code]

Le terme général de la suite des nombres de Lucas s'exprime en fonction du nombre d'or par la formule suivante, analogue à la formule de Binet pour les nombres de Fibonacci :

 ;

Les puissances successives de sont donc voisines des nombres de Lucas. Plus précisément, est égal à , qui est strictement inférieur à 1/2 pour n ≥ 2 (et qui tend rapidement vers 0), ce qui montre que est l'entier le plus proche de . Par exemple : = 2,61809..., = 4,23606..., = 6,85410...

Relations entre les nombres de Lucas et ceux de Fibonacci[modifier | modifier le code]

Les nombres de Lucas sont liés aux nombres de Fibonacci par les identités :

  • , et ainsi la suite converge vers .
  • , et donc
  • , et

Relation entre , et le nombre d’or[modifier | modifier le code]

En comparant la formule de Binet, , et la formule analogue pour les nombres de Lucas, , on déduit la relation entre , et  :

Divisibilité des nombres de Lucas[modifier | modifier le code]

Une première approche de la question de la divisibilité de par un entier a consiste à étudier la suite des restes de modulo a : cette suite (rn) vérifie (dans Z/aZ) la même récurrence (rn+2 = rn+1 + rn) et est donc périodique de période au plus a2 (les longueurs des périodes en fonction de a forment la suite des périodes de Pisano, suite A001175 de l'OEIS). Plus précisément, l'étude de cette récurrence, et de la relation , dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des résultats analogues à ceux obtenus pour la suite de Fibonacci[1],[2]. On démontre également qu’aucun nombre de Lucas n’est divisible par un nombre de Fibonacci > 3[1].

Nombres de Lucas premiers[modifier | modifier le code]

On conjecture que la sous-suite des nombres de Lucas premiers, 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521etc. — suite A005479 de l'OEIS — est infinie[3].

Les indices correspondants, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, etc. (A001606), sont tous, hormis 0, premiers ou puissances de 2[3], et les seules puissances de 2 connues qui font partie de cette suite d'indices sont 2, 4, 8 et 16.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas number » (voir la liste des auteurs).

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Lucas Number », MathWorld