Théorème de Vinogradov

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le théorème de Vinogradov permet de démontrer que tout entier impair suffisamment grand peut être écrit comme la somme de trois nombres premiers. Par exemple, 17891 = 3 + 7 + 17881, où 3, 7 et 17881 sont premiers.

Cette conséquence du théorème de Vinogradov constitue une variante moins forte de la conjecture faible de Goldbach, laquelle, si elle était démontrée, indiquerait que tout nombre entier impair supérieur à cinq peut s'écrire comme somme de trois nombres premiers.

Le théorème de Vinogradov porte le nom d'Ivan Vinogradov, un mathématicien russe qui l'a démontré en 1937, par la méthode du cercle de Hardy-Littlewood[1].

L'énoncé exact du théorème de Vinogradov donne des bornes asymptotiques (en) sur le nombre de représentations d'un nombre entier impair comme somme de trois nombres premiers.

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Soit A un nombre réel positif. Alors[2]

r(N)={1\over 2}G(N)N^2+O\left(N^2\log^{-A}N\right),

r(N)=\sum_{k_1+k_2+k_3=N}\Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3),

\Lambda est la fonction de von Mangoldt et où

G(N)=\left(\prod_{p\mid N}\left(1-{1\over{\left(p-1\right)}^2}\right)\right)\left(\prod_{p\nmid N}\left(1+{1\over{\left(p-1\right)}^3}\right)\right).

Lien avec la conjecture faible de Goldbach[modifier | modifier le code]

Pour N pair, G(N) = 0 et l'estimation de r(N) fournie par le théorème est moins fine que d'autres déjà connues. À l'opposé, pour N impair, l'infimum des G(N) est > 0, si bien que le théorème prouve l'existence d'une constante C > 0 telle que pour tout N impair, r(N) ≥ CN2. On isole alors dans r(N) la partie R(N) de la série dans laquelle k1, k2 et k3 sont tous les trois premiers, et l'on montre que le reste (r – R)(N) est de l'ordre de O(N3/2log2N). Or si l'on note s(N) le nombre de façons d'écrire N comme somme de trois nombres premiers, on a trivialement R(N) ≤ s(N)log3N. Pour toute constante strictement positive D < C on obtient donc, pour tout N impair suffisamment grand :

s(N)\ge R(N)\log^{-3}N\ge(CN^2-O(N^{3/2}\log^2N))\log^{-3}N\ge DN^2\log^{-3}N>0

Par conséquent, un tel N peut être écrit comme la somme de trois nombres premiers, ce qui démontre la conjecture faible de Goldbach dans tous les cas, sauf dans un nombre fini de cas.

Détermination d'un seuil[modifier | modifier le code]

Un seuil au-delà duquel un nombre est « suffisamment grand » pour vérifier la conjecture n'était pas explicitement quantifié dans l'énoncé du théorème de Vinogradov. La démonstration originelle de Vinogradov s'appuyait sur le théorème de Siegel-Walfisz (en), ce qui ne donnait pas de moyens de calculer un tel seuil.

Konstantin Borodzin, un élève de Vinogradov, trouva en 1939 un seuil de 314 348 907.

Un seuil de 3,33.1043 000 fut démontré par Wang Yuan (en) et Chen Jingrun en 1989, puis abaissé à 2.101346 par Liu Ming-Chit et Wang Tian-Ze[3] en 2002.

Si l'on pouvait montrer que tout nombre impair inférieur à ce seuil est somme de trois nombres premiers impairs, la conjecture faible de Goldbach serait démontrée. Néanmoins, l'exposant a encore besoin d'être réduit d'une bonne quantité avant qu'il soit techniquement possible de vérifier simplement chaque nombre inférieur au seuil.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) I. M. Vinogradov (trad. Anne Davenport et K. F. Roth), The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers, New York, Interscience,‎ 1954
  2. (en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: the Classical Bases, Springer, coll. « GTM » (no 164),‎ 1996 (ISBN 978-0-387-94656-6, lire en ligne), chap. 8.
  3. (en) M. C. Liu et T. Z. Wang, « On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture », Acta Arith., vol. 105,‎ 2002, p. 133-175

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Vinogradov's Theorem », MathWorld

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de la valeur moyenne de Vinogradov (en)