Nombre premier de Sophie Germain

Un nombre premier G est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, qui est alors appelé nombre premier sûr et noté S dans ce qui suit.

Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le « premier cas ») est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que x^G + y^G = z^G.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.

Listes de nombres premiers de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229 et 1 289.

Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme G_i inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté S_i = 2G_i + 1 dans la case immédiatement au-dessous.

Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 127

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Les seize nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 127 sont présentés dans le tableau 1 ci-dessous. À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

Tableau 1 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 127, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.
décades d'entiers n	première décade	deuxième décade	troisième décade	quatrième décade	cinquième décade	sixième décade	septième décade	huitième décade	neuvième décade	dixième décade	onzième décade	douzième décade	treizième décade
entiers n =	00 à 09	10 à 19	20 à 29	30 à 39	40 à 49	50 à 59	60 à 69	70 à 79	80 à 89	90 à 99	100 à 109	110 à 119	120 à 127
premiers dont G_i et S_i	-^{[n 1]}	11 G₄ et S₃	23 G₅ et S₄	31	41 G₇	53 G₈	61	71	83 G₉ et S₇	97	101	113 G₁₁	127
S	-^{[n 1]}	S₄=23	S₅=47	-	S₇=83	S₈=107	-	-	S₉=167	-	-	S₁₁=227	-
premiers dont G_i et S_i	-^{[n 2]}	13	29 G₆	37	43	59 S₆	67	73	89 G₁₀		103		(131) (G₁₂)
S	-^{[n 2]}	-	S₆=59	-	-	-	-	-	S₁₀=179		-		(S₁₂=263)
premiers dont G_i et S_i	2 G₁	17			47 S₅			79			107 S₈		(173) (G₁₃)
S	S₁=5	-			-			-			-		(S₁₃=347)
premiers dont G_i et S_i	3 G₂	19									109		(179) (S₁₀ et G₁₄)
S	S₂=7	-									-		(S₁₄=359)
premiers dont G_i et S_i	5 G₃ et S₁												(191) (G₁₅)
S	S₃=11												(S₁₅=383)
premiers dont G_i et S_i	7 S₂												(233) (G₁₆)
S	-												(S₁₆=467)
sous-totaux des p, G_i, S_i, par décade	4 p 3 G 2 S	4 p 1 G 1 S	2 p 2 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 1 G 1 S	2 p 1 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 0 G 0 S	2 p 2 G 1 S	1 p 0 G 0 S	4 p 0 G 1 S	1 p 1 G 0 S	1 p 0 G 0 S
Totaux et ratios A	- A1 - 25 soit 25 % de nombres premiers p parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99, à comparer à : 10 soit 10 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. 7 soit 7 % de nombres premiers sûrs S parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. - A2 - 46 soit 23 % de nombres premiers « p » parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199, à comparer à : 15 soit 7,5 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199. 10 soit 5 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199.
Totaux et ratios B	- B1 - 31 soit 24 % de nombres premiers p parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127, à comparer à : 11 soit 8,6 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127. 8 soit 6,25 % de nombres premiers sûrs S parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127. - B2 - 54 soit 21 % de nombres premiers p parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255, à comparer à : 18 soit 7 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255^{[n 3]}. 11 soit 4,3 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255.

↑ ^{a et b} Le nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
↑ ^{a et b} Le nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
↑ Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires inférieurs à 256 qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G₁₇ = 239 et G₁₈ = 251.

Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 1 023

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Les nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 1 023 sont présentés dans le tableau 2 ci-dessous. À partir de 1 031, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

Tableau 2 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 1023, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.
centaines d'entiers n		premier cent			deuxième cent			troisième cent		quatrième cent		cinquième cent		sixième cent		septième cent		huitième cent		neuvième cent		dixième cent		+ 23 → 1023
Typ	Qté	00	10	20	00	10	20	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00
p G_i S_i	01	2 G₁	31	73	101	151	199	211	269	307	367	401	461	503 S₁₈	577	601	659 G₃₀	701	769	809 G₃₅	863 S₂₃	907	977	1009
S		S₁=5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	S₃₀=1319	-	-	S₃₅=1619	-	-	-	-
p G_i S_i	02	3 G₂	37	79	103	157		223	271	311	373	409	463	509 G₂₆	587 S₂₀	607	661	709	773	811	877	911 G₃₆	983 S₂₅	1013 *G₃₈*
S		S₂=7	-	-	-	-		-	-	-	-	-	-	S₂₆=1019	-	-	-	-	-	-	-	S₃₆=1823	-	S₃₈=2027
p G_i S_i	03	5 G₃ S₁	41 G₇	83 G₉ S₇	107 S₈	163		227 S₁₁	277	313	379	419 G₂₂	467 S₁₆	521	593 G₂₇	613	673	719 G₃₂ S₂₁	787	821	881	919	991	1019 *G₃₉* S₂₆
S		S₃=11	S₇=83	S₉=167	-	-		-	-	-	-	S₂₂=839	-	-	S₂₇=1187	-	-	S₃₂=1439	-	-	-	-	-	S₃₉=2039
p G_i S_i	04	7 S₂	43	89 G₁₀	109	167 S₉		229	281 G₁₉	317	383 S₁₅	421	479 S₁₇	523	599	617	677	727	797	823	883	929	997	1021
S		-	-	S₁₀=179	-	-		-	S₁₉=563	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
p G_i S_i	05	11 G₄ S₃	47 S₅	97	113 G₁₁	173 G₁₃		233 G₁₆	283	331	389	431 G₂₃	487	541		619	683 G₃₁	733		827	887 S₂₄	937		(1031) (G₄₀)
S		S₄=23	-	-	S₁₁=227	S₁₃=347		S₁₆=467	-	-	-	S₂₃=863	-	-		-	S₃₁=1367	-		-	-	-		*(S₄₀= 2063)*
p G_i S_i	06	13	53 G₈		127	179 G₁₄ S₁₀		239 G₁₇	293 G₂₀	337	397	433	491 G₂₅	547		631	691	739		829		941		(1049) *(G₄₁)*
S		-	S₈=107		-	S₁₄=359		S₁₇=479	S₂₀=587	-	-	-	S₂₅=983	-		-	-	-		-		-		*(S₄₁= 2099)*
p G_i S_i	07	17	59 S₆		131 G₁₂	181		241		347 S₁₃		439	499	557		641 G₂₈		743 G₃₃		839 S₂₂		947		(1103) *(G₄₂)*
S		-	-		S₁₂=263	-		-		-		-	-	-		S₂₈=1283		S₃₃=1487		-		-		*(S₄₂= 2207)*
p G_i S_i	08	19	61		137	191 G₁₅		251 G₁₈		349		443 G₂₄		563 S₁₉		643		751		853		953 G₃₇		(1223) *(G₄₃)*
S		-	-		-	S₁₅=383		S₁₈=503		-		S₂₄=887		-		-		-		-		S₃₇=1907		*(S₄₃= 2447)*
p G_i S_i	09	23 G₅ S₄	67		139	193		257		353		449		569		647		757		857		967		(1229) *(G₄₄)*
S		S₅=47	-		-	-		-		-		-		-		-		-		-		-		*(S₄₄= 2459)*
p G_i S_i	10	29 G₆	71		149	197		263 S₁₂		359 G₂₁ S₁₄		457		571		653 G₂₉		761 G₃₄		859		971		(1289) *(G₄₅)*
S		S₆=59	-		-	-		-		S₂₁=759		-		-		S₂₉=1307		S₃₄=1523		-		-		*(S₄₅= 2579)*
ss-totaux et ratios par cent		25 p → 25 % 10 G → 10 % 7 S → 7 %			21 p → 21 % 5 G → 5 % 3 S → 3 %			16 p → 16 % 5 G → 5 % 2 S → 2 %		16 p → 16 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		17 p → 17 % 4 G → 4 % 2 S → 2 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 3 S → 3 %		16 p → 16 % 4 G → 4 % 0 S → 0 %		14 p → 14 % 3 G → 3 % 1 S → 1 %		15 p → 15 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 1 S → 1 %		4 p 2 G 1 S
Totaux et ratios A		- A1 - 168 soit 16,8 % de nombres premiers p parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999, à comparer à : 37 soit 3,70 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999. 25 soit 2,50 % de nombres premiers sûrs S parmi les 1000 entiers n compris entre 0 et 999. - A2 - 303 soit 15,2 % de nombres premiers p parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999, à comparer à : ? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999. 37 soit 1,85 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999.
Totaux et ratios B		- B1 - 172 soit 16,8 % de nombres premiers p parmi les 1 024 entiers n compris entre 0 et 1 023, à comparer à : 39 soit 3,81 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1023. 26 soit 2,54 % de nombres premiers sûrs S parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1 023. - B2 - 309 soit 15,1 % de nombres premiers p parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047, à comparer à : ? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047. 39 soit 1,90 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047.

Quantité de nombres premiers de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est^[1] 2C₂ n / (ln n)² où C₂ est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 10⁴, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190. Pour n = 10⁷, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.

Chaîne de Cunningham[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Chaîne de Cunningham.

Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.

Exemple d'application[modifier | modifier le code]

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Soit $p$ un nombre premier de la forme $p=4k+3$ . Alors $p$ est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne $M_{p}=2^{p}-1$ est un nombre composé dont $2p+1$ est un diviseur^[2]. Ce théorème dû à Euler^[2] peut être utilisé comme test de primalité^[2]; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent $M_{83}=2^{83}-1$ est divisible par 167 et n'est donc pas premier.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sophie Germain prime » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Victor Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Cambridge University Press, 2009 (lire en ligne), chap. 5.5.5 (« Sophie Germain primes »), p. 123-124.
↑ ^{a b et c} G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 6 (« Le théorème de Fermat et ses conséquences »), section 6.15.