Nombre premier circulaire

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Un nombre premier circulaire est un nombre premier avec la propriété que le nombre généré à chaque étape intermédiaire lors d'une permutation cyclique de ses chiffres (base 10) soit premier[1],[2].

Par exemple, 1193 est un premier circulaire, car 1931, 9311 et 3119 sont aussi des nombres premiers[3]. Un premier circulaire avec au moins deux chiffres ne peut qu'être constitué de combinaisons des chiffres 1, 3, 7 ou 9, parce qu'ayant 0, 2, 4, 6 ou 8, le dernier chiffre rend le nombre divisible par 2, et avoir 0 ou 5 comme dernier chiffre rend le nombre divisible par 5[1],[4].

La liste complète représentant les plus petits nombres premiers circulaires (les nombres premiers à un seul chiffre et les répunits sont les seuls membres de leurs cycles respectifs) est 2, 3, 5, 7, R2, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193, 3779, 11939, 19937, 193939, 199933, R19, R23, R317, R1031, R49081, R86453, R109297, et R270343, où Rn est un premier répunit avec n chiffres. Il n'y a pas d'autres nombres premiers circulaires au-delà de 1023[3]. Un type de nombre premier lié aux nombres premiers circulaires sont les nombres premiers permutables, et sont un sous-ensemble des nombres premiers circulaires (tous les premiers permutables sont aussi des premiers circulaires, mais pas nécessairement inversement)[3].

Autres bases[modifier | modifier le code]

La liste complète des plus petits nombres premiers représentants de tous les cycles connus de nombres premiers circulaires en base 12 est (en utilisant le deux et le trois inversé pour dix et onze, respectivement)

2, 3, 5, 7, Ɛ, R2, 15, 57, 5Ɛ, R3, 117, 11Ɛ, 175, 1Ɛ7, 157Ɛ, 555Ɛ, R5, 115Ɛ77, R17, R81, R91, R225, R255, R4ᘔ5, R5777, R879Ɛ, R198Ɛ1, R23175, et R311407.

où Rn est un nombre premier répunit en base 12 avec n chiffres. Il n'y a pas d'autres nombres premiers circulaires en base 12 au-delà de 128.

En base 2, seuls les nombres premiers de Mersenne peuvent être des nombres premiers circulaires.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Circular prime » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b The Universal Book of Mathematics, Darling, David J., p. 70, 25 juillet 2010
  2. Prime Numbers—The Most Mysterious Figures in Math, Wells, D., p. 47 (page 28), 27 juillet 2010
  3. a, b et c Circular Primes, Patrick De Geest, 25 juillet 2010
  4. The mathematics of Oz: mental gymnastics from beyond the edge, Pickover, Clifford A., p. 330, 9 mars 2011

Liens externes[modifier | modifier le code]