Nombre d'Euclide

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En arithmétique, les nombres d'Euclide sont les entiers de la forme En = pn# + 1, où pn# est le n-ième nombre primoriel, c'est-à-dire le produit des n plus petits nombres premiers[1]. Dans sa preuve de l'existence d'une infinité de nombres premiers Euclide utilise bien un produit de n nombres premiers distincts plus un, tel que le « nombres d'Euclide » En, mais n'indique jamais qu'il s'agit du produit des n plus petits nombres premiers[2].

Les sept premiers nombres d'Euclide[3] sont 2, 3, 7, 31, 211, 2 311 et 30 031. Ils sont premiers sauf E6 = 13# + 1 = 30 031 = 59 × 509.

On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres d'Euclide premiers[4], ni s'il existe une infinité de nombres d'Euclide composés[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euclid number » (voir la liste des auteurs).

  1. Le produit vide p0# est égal à 1.
  2. (en) Michael Hardy et Catherine Woodgold, « Prime Simplicity », The Mathematical Intelligencer, vol. 31, no 4,‎ , p. 44-52 (DOI 10.1007/s00283-009-9064-8).
  3. Pour les 100 premiers, voir la suite A006862 de l'OEIS.
  4. Voir les suites A018239, A005234 et A014545 de l'OEIS.
  5. (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, p. 4.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Nombre premier primoriel