n-uplet

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En mathématiques, si n est un entier naturel, alors un n-uplet ou n-uple est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du n-uplet.

En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, OCaml ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).

Note: L'utilisation du terme anglais tuple pour uplet dans des ouvrages en français[1] est courante en programmation.

Définitions[modifier | modifier le code]

Pour n > 0, si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, ..., an le ne élément, le n-uplet s'écrit : (a1,a2,...,an).

Le 0-uplet s'écrit ( ).

L'égalité des n-uplets se définit par

(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn) si et seulement si a1=b1 et a2=b2 ... et an=bn.

Un 1-uplet est un singleton, un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...

Si E1, ..., En, sont des ensembles, alors l'ensemble des n-uplets (a1,a2,...,an) où a1 appartient à E1, ..., an appartient à En, est le produit cartésien de ceux-ci, noté « E1 × ... × En ».

Exemples[modifier | modifier le code]

Formalisation[modifier | modifier le code]

Un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui lui-même peut se définir en termes d'ensembles :

(a1,a2,...,an)=((...((a1,a2),a3),...,an-1),an)

(c'est-à-dire qu'un n+1-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet), ou en utilisant une définition par récurrence, la notion de couple étant connue :

  1. \varnothing est un 0-uplet
  2. si x = (a1,a2,...,an) est un n-uplet, alors (x,an+1) est un (n+1)-uplet, et (a1,a2,...,an, an+1) = (x,an+1).

La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, … , n-1} ou {1, … , n}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Par exemple dans le manuel de F. Aprahamian, A Bertrand, D. Besancenot, J.-B. Ferrari, K. Huynh, Microéconomie, Bréal, 2007 (ISBN 9782749507491) p. 226

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]