Conjecture de Legendre

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La conjecture de Legendre, proposée par Adrien-Marie Legendre, énonce qu'il existe un nombre premier entre n2 et (n + 1)2 pour tout entier n ≥ 1.

Cette conjecture est l'un des problèmes de Landau, et n'a pas été résolue à l'heure actuelle.

Résultats partiels[modifier | modifier le code]

Le postulat de Bertrand, conjecture plus faible, a été démontré en 1852.

Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'entre n2 et (n + 1)2, il existe toujours un nombre premier ou semi-premier[1].

Iwaniec et Pintz ont démontré, en 1984[2], qu'il existe toujours un nombre premier entre n – n23/42 et n.

Lien avec la conjecture de Riemann[modifier | modifier le code]

La conjecture de Legendre est liée à l'hypothèse de Riemann :

Soient pm le nombre premier de rang m et n la valeur [pm] + 1. Selon la conjecture de Legendre, il existerait un nombre premier p entre n2 et (n + 1)2. On aurait alors les inégalités (strictes car le carré d'un entier ne saurait être premier)

dont on déduirait que

On aurait ainsi

Or l'hypothèse de Riemann implique, pour une constante C > 0 adaptée

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) J. R. Chen, « On the distribution of almost primes in an interval », Sci. Sinica, vol. 18, no 5,‎ , p. 611-627 (lire en ligne).
  2. (en) Henryk Iwaniec et János Pintz, « Primes in short intervals », Monatsh. Math., vol. 98, no 2,‎ , p. 115-143 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Legendre's conjecture », MathWorld