Conjecture de Legendre

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La conjecture de Legendre, proposée par Adrien-Marie Legendre, énonce qu'il existe un nombre premier entre n2 et (n + 1)2 pour tout entier n.

Cette conjecture est l'un des problèmes de Landau, et n'a pas été résolue à l'heure actuelle.

Résultats partiels[modifier | modifier le code]

Une des voies d'étude de ce problème a été de tenter d'adapter le postulat de Bertrand.

Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'il existe un nombre premier ou semi-premier entre n2 et (n + 1)2 pour tout entier n.

D'autre part, il a été démontré par Iwaniec et Pintz, en 1984, qu'il existe toujours un nombre premier entre n – n23/42 et n.

Lien avec la conjecture de Riemann[modifier | modifier le code]

La conjecture de Legendre est liée à l'hypothèse de Riemann :

Soient pm le nombre premier de rang m et n la valeur [pm] + 1. Selon la conjecture de Legendre, il existerait un nombre premier p entre n2 et (n + 1)2. On aurait alors les inégalités (strictes car le carré d'un entier ne saurait être premier)

dont on déduirait que

On aurait ainsi

Or l'hypothèse de Riemann implique, pour une constante C > 0 adaptée

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Legendre's conjecture », MathWorld

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2006 (ISBN 2-287-33845-4)