Conjecture de Legendre

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La conjecture de Legendre, proposée par Adrien-Marie Legendre, énonce qu'il existe un nombre premier entre n2 et (n + 1)2 pour tout entier n ≥ 1.

Cette conjecture est l'un des problèmes de Landau, et n'a pas été résolue à l'heure actuelle.

Résultats partiels[modifier | modifier le code]

Le postulat de Bertrand, conjecture plus faible, a été démontré en 1852.

Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'entre n2 et (n + 1)2, il existe toujours un nombre premier ou semi-premier[1].

Iwaniec et Pintz ont démontré, en 1984[2], qu'il existe toujours un nombre premier entre n – n23/42 et n.

Lien avec la conjecture de Riemann[modifier | modifier le code]

La véracité de l'hypothèse de Riemann impliquerait une forme légèrement plus faible de la conjecture de Legendre :

Soient pm le nombre premier de rang m et n la valeur [pm] + 1. Selon la conjecture de Legendre, il existerait un nombre premier p entre n2 et (n + 1)2. On aurait alors les inégalités (strictes car le carré d'un entier ne saurait être premier)

dont on déduirait que

On aurait ainsi

Or l'hypothèse de Riemann sous la forme implique, pour une certaine constante C adaptée

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) J. R. Chen, « On the distribution of almost primes in an interval », Sci. Sinica, vol. 18, no 5,‎ , p. 611-627 (lire en ligne).
  2. (en) Henryk Iwaniec et János Pintz, « Primes in short intervals », Monatsh. Math., vol. 98, no 2,‎ , p. 115-143 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Legendre's conjecture », MathWorld