Nombres premiers sexy

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En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy (ou nombres premiers sexys[1]) est un couple de nombres premiers dont la différence est 6 (autrement dit, un couple de la forme (p, p + 6) où p et p + 6 sont des nombres premiers). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11.

Le terme « sexy » est un jeu de mot basé sur le mot latin pour « six » : sex.

Groupements[modifier | modifier le code]

Couples[modifier | modifier le code]

Les couples de nombres premiers sexy (suites A023201 et A046117 de l'OEIS, ou suite A156274) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombre premiers sexy connu est (p, p + 6) pour

p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)2 - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1, où 7879# est une primorielle.

Il est composé de 10 154 chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen[2].

Triplets[modifier | modifier le code]

Comme les nombres premiers jumeaux, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé (non premier). Les triplets inférieurs à 1 000 (suites A046118, A046119 et A046120 de l'OEIS) sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En avril 2006, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu est (p, p+6, p+12) pour :

p = (84055657369 × 205881 × 4001# × (205881 × 4001# + 1) + 210) × (205881 × 4001# - 1) / 35 + 1.

Découvert par Ken Davis, il comporte 5 132 chiffres[3].

Quadruplets[modifier | modifier le code]

De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par 1. Les quadruplets inférieurs à 1 000 (suites A046121, A046122, A046123 et A046124 de l'OEIS) sont  :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

En novembre 2005, le plus grand quadruplet de nombres premiers sexy connu est (p, p + 6, p + 12, p + 18) pour :

p = 411784973 × 2347# + 3301.

Il a été découvert par Jens Kruse Andersen et comporte 1 002 chiffres[2].

Quintuplet[modifier | modifier le code]

Comme dans une progression arithmétique de raison 6, un terme sur 5 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5, 11, 17, 23, 29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.)[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sexy prime » (voir la liste des auteurs).

  1. Selon l’orthographe recommandée depuis les rectifications orthographiques du français en 1990.
  2. a et b (en) Gigantic sexy and cousin primes, message de Jens Kruse Andersen sur PrimeFormGW (PFGW), un groupe de discussion Yahoo! consacré aux tests de primalité, 3 novembre 2005.
  3. (en) The Largest Known CPAP's, sur le site de Jens Kruse Andersen.
  4. Démonstrations détaillées sur le site ChronoMath.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Sexy Primes », MathWorld