Constante de Copeland-Erdős

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En mathématiques, la constante de Copeland-Erdős est une constante mathématique créée en concaténant les représentations en base dix des nombres premiers.

Définition[modifier | modifier le code]

Formellement, la constante de Copeland-Erdős est définie comme égale à :

,

est le n-ième nombre premier, et la partie entière de .

De façon peut-être plus explicite, son écriture en base dix est la concaténation de « 0, » et des représentations en base 10 des nombres premiers ; sa valeur est donc :

0,2357111317192329… (suite A33308 de l'OEIS).

Propriétés[modifier | modifier le code]

En base 10, la constante est un nombre normal (et donc irrationnel[N 1]), ce qui fut prouvé par Arthur Herbert Copeland et Paul Erdős en 1946[1]. En tant que tel, c'est aussi un nombre univers.

Sa représentation en fraction continue débute par [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, ...] (suite A30168 de l'OEIS).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En effet un nombre rationnel a nécessairement un développement décimal périodique. Supposons que ce soit le cas d'un nombre normal donné. On distingue deux cas. Soit la période est et est différente du n-uplet nul , auquel cas le n-uplet n'apparait pas dans le développement décimal et donc le nombre n'est en fait pas normal. Soit la période est et dans ce cas il est clair que le nombre n'est pas normal non plus puisque son développement décimal est fini.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Arthur H. Copeland et Paul Erdős, « Note on normal numbers », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 52,‎ , p. 857-860 (lire en ligne) ; cet article démontre que ce résultat est vrai pour toute suite d'entiers suffisamment dense.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Copeland-Erdős Constant », MathWorld