Plus grand nombre premier connu

Depuis décembre 2018, le plus grand nombre premier connu est :

2^{82\,589\,933}-1

C'est un nombre comportant 24 862 048 chiffres lorsqu'il est écrit en base dix. Il a été découvert le 7 décembre 2018 par le Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) et confirmé le 21 décembre 2018.

Euclide a démontré qu'il n'existe aucun nombre premier qui est plus grand que tous les autres ; ce qui signifie qu'il existe une infinité de nombres premiers. Malgré, ou du fait de, cette absence de limite, beaucoup de mathématiciens, même amateurs, continuent à chercher de grands nombres premiers.

Depuis 1992, tous les plus grands nombres premiers connus à une date donnée sont des nombres premiers de Mersenne^[1]. En décembre 2018, les dix-huit plus grands nombres premiers connus (à ce sens) sont de Mersenne, tandis que le dix-neuvième est un polynôme de nombres de Mersenne^[2].

La transformation de Fourier rapide mise en œuvre avec le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne est rapide par rapport à d'autres tests de primalité connus pour d'autres types de nombres. Cette rapidité relative explique la quantité importante de nombres de Mersenne parmi les plus grands nombres premiers connus.

Le record[modifier | modifier le code]

Le record est détenu par 2^82 589 933 − 1, nombre de Mersenne testé premier par Patrick Laroche dans le cadre du programme GIMPS, le 7 décembre 2018^[3].

Écrit en base dix, ce nombre comporte 24 862 048 chiffres, soit plus d'un million et demi de chiffres supplémentaires par rapport à l'ancien record qui datait de janvier 2018 (cf. infra).

Ses dix premiers chiffres sont 1488944457..., et les 10 derniers sont ...5217902591.

Prix[modifier | modifier le code]

Le programme Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) offre actuellement une récompense de trois mille dollars aux participants qui téléchargent et exécutent leur logiciel libre, et dont l'ordinateur découvre un nouveau nombre premier de Mersenne ayant moins de 100 millions de chiffres.

Il existe plusieurs prix offerts par l'Electronic Frontier Foundation pour la découverte de nombres premiers^[4]. GIMPS coordonne aussi ses efforts à long terme pour les nombres premiers possédant plus de 100 millions de chiffres avec l'Electronic Frontier Foundation pour une récompense de 150 000 dollars pour le participant gagnant.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le record du plus grand nombre premier connu a presque toujours été trouvé parmi les nombres de Mersenne^[5]^,^[2].

Dans la littérature et dans le tableau ci-dessous, les nombres premiers de Mersenne sont identifiés par les notations :

Mn, où le nombre n accolé représente le rang dans la suite croissante des nombres premiers de Mersenne ;
M_p, où l'indice p indique le nombre premier exposant de 2 dans l'expression 2^p – 1 du nombre de Mersenne.

Le nombre qui détint le record le plus longtemps fut M₁₉ = 524 287, pendant 144 ans.

Aucun record n'est attesté avant 1456.

Tableau des records du monde de taille de nombres premiers connus^[5]^,^[6]
Date	Découvreur	Machine	Type	Désignation	Valeur ou nombre de chiffres en base dix
Avant le XVI^e siècle, il n'est pas possible de déterminer de manière précise les records de calcul du plus grand nombre premier. Les documents qui nous sont parvenus permettant de justifier les calculs sont inexistants ou incomplets^[7].
1456	anonyme	-	Nombres de Mersenne	M4 = M₁₃	8 191
1460	anonyme	-		M5 = M₁₇	131 071
1588	Pietro Cataldi	-		M7 = M₁₉	524 287
1732	Leonhard Euler	-	Facteur premier du nombre de Fermat F₅	${\tfrac {2^{32}+1}{641}}$	6 700 417
1750^[8]	Leonhard Euler	-	Nombre de Mersenne	M8 = M₃₁	2 147 483 647
1855	Thomas Clausen	-	-	${\tfrac {2^{64}+1}{274177}}$	67 280 421 310 721
1876	Édouard Lucas	-	Nombre de Mersenne	M12 = M₁₂₇	170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727
1951^[9]	Aimé Ferrier	-	-	2¹⁴⁸ + 1/17	20 988 936 657 440 586 486 151 264 256 610 222 593 863 921
1951	Miller (en) et Wheeler	EDSAC1 de Cambridge	Polynôme de nombre de Mersenne	180×(M₁₂₇)² + 1	79 chiffres
30 janvier 1952	Robinson	SWAC	Nombres de Mersenne	M13 = M₅₂₁	157 chiffres
30 janvier 1952	Robinson	SWAC		M14 = M₆₀₇	183 chiffres
25 juin 1952	Robinson	SWAC		M15 = M₁₂₇₉	386 chiffres
7 octobre 1952	Robinson	SWAC		M16 = M₂₂₀₃	664 chiffres
9 octobre 1952	Robinson	SWAC		M17 = M₂₂₈₁	687 chiffres
8 septembre 1957	Riesel	BESK (en)		M18 = M₃₂₁₇	969 chiffres
3 novembre 1961	Hurwitz	IBM 7090		M20 = M₄₄₂₃	1 332 chiffres
11 mai 1963	Gillies (en)	ILLIAC 2		M21 = M₉₆₈₉	2 917 chiffres
16 mai 1963	Gillies	ILLIAC 2		M22 = M₉₉₄₁	2 993 chiffres
2 juin 1963	Gillies	ILLIAC 2		M23 = M₁₁₂₁₃	3 376 chiffres
4 mars 1971	Tuckerman	IBM 360/91		M24 = M₁₉₉₃₇	6 002 chiffres
30 octobre 1978	Noll (en) et Nickel	CDC Cyber 174		M25 = M₂₁₇₀₁	6 533 chiffres
9 février 1979	Noll	CDC Cyber 174		M26 = M₂₃₂₀₉	6 987 chiffres
8 avril 1979	Nelson (en) et Slowinski (en)	Cray-1		M27 = M₄₄₄₉₇	13 395 chiffres
25 septembre 1982	Slowinski	Cray-1		M28 = M₈₆₂₄₃	25 962 chiffres
19 septembre 1983	Slowinski	Cray X-MP		M30 = M₁₃₂₀₄₉	39 751 chiffres
1^er septembre 1985	Slowinski	Cray X-MP/24		M31 = M₂₁₆₀₉₁	65 050 chiffres
1989	Amdahl 6^[10]	Amdahl 1200	Polynôme de nombres de Mersenne	391581 × M₇₅₆₈₃₉ + 391580 = 391 581 × 2^756 839 – 1	65 087 chiffres
19 février 1992	Slowinski, Gage et al.	Cray-2	Nombres de Mersenne	M32 = M₇₅₆₈₃₉	227 832 chiffres
10 janvier 1994	Slowinski et Gage	Cray C90		M33 = M₈₅₉₄₃₃	258 716 chiffres
3 septembre 1996	Slowinski et Gage	Cray T94		M34 = M_1257787	378 632 chiffres
13 novembre 1996	Joël Armengaud, Woltman et al. (Projet GIMPS)	Pentium (90 MHz)		M35 = M_1398269	420 921 chiffres
24 août 1997	Gordon Spence, Woltman et al. (Projet GIMPS)	Pentium (100 MHz)		M36 = M_2976221	895 932 chiffres
27 janvier 1998^[11]	Clarkson, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	Pentium (200 MHz)		M37 = M_3021377	909 526 chiffres^[11]
1^er juin 1999	Hajratwala, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	Pentium (350 MHz)		M38 = M_6972593	2 098 960 chiffres
14 novembre 2001	Cameron, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	AMD T-Bird (800 MHz)		M39 = M_13466917	4 053 946 chiffres
17 novembre 2003	Shafer, Woltman, Kurowski et al., MSU (Projet GIMPS)	Pentium (2 GHz)		M40 = M_20996011	6 320 430 chiffres
15 mai 2004	Findley, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	Pentium 4 (2,4 GHz)		M41^[12] = M_24036583	7 235 733 chiffres
18 février 2005	Nowak, Woltman, Kurowski et al. (Projet GIMPS)	Pentium 4 (2,4 GHz)		M42^[13] = M_25964951	7 816 230 chiffres
15 décembre 2005	C. Cooper, S. Boone, G. Woltman, S. Kurowski et al., UCM (en) (Projet GIMPS)	Pentium 4 (2 GHz upgraded to 3 GHz)		M43^[13] ?? = M_30402457	9 152 052 chiffres
4 septembre 2006^[14]	C. Cooper, S. Boone, G. Woltman, S. Kurowski et al., UCM (Projet GIMPS)	Pentium 4 (3 GHz)		M44^[13] ?? = M_32582657	9 808 358 chiffres^[14]
23 août 2008	Edson Smith^[15], George Woltman, Scott Kurowski et al., UCLA (Projet GIMPS)	Intel Core 2 Duo E6600 CPU (2,4 GHz)		M47^[13] ?? = M_43112609	12 978 189 chiffres^[16]
25 janvier 2013	C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski et al., UCM (Projet GIMPS)			M_57885161	17 425 170 chiffres
7 janvier 2016	C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser et al., UCM (Projet GIMPS)			M_74207281	22 338 618 chiffres
26 décembre 2017	J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et al. (Projet GIMPS)	Intel i5-6600 CPU		M_77232917	23 249 425 chiffres
7 décembre 2018	Patrick Laroche (Projet GIMPS)	Intel i5-4590T		M_82589933	24 862 048 chiffres

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Largest known prime number » (voir la liste des auteurs).

Références[modifier | modifier le code]

↑ En décembre 2018, cependant, le 9^e plus grand nombre premier connu était $10223.2^{31172165}+1$ , découvert en 2016, et qui n'est pas de cette forme (voir sur le site de Chris Caldwell la liste des plus grands nombres premiers connus).
↑ ^{a et b} Chris Caldwell, « The Largest Known Prime by Year: A Brief History », Prime Pages (consulté le 20 janvier 2016)
↑ (en) « Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime! », sur www.mersenne.org, 21 décembre 2018 (consulté le 24 décembre 2018)
↑ (en) « Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize », Electronic Frontier Foundation, Electronic Frontier Foundation, 14 octobre 2009 (consulté le 26 novembre 2011)
↑ ^{a et b} (en) Chris Caldwell, The Largest Known Prime by Year: A Brief History at The Prime Pages. Part 1 : Before Electronic Computers, Part 2 : The Age of Electronic Computers.
↑ (en) mersenne.org GIMPS : Finding World Record Primes Since 1996.
↑ Delahaye 2000, p. 166-167.
↑ Le huitième nombre de Mersenne (M8) fut trouvé en 1750 mais publié en 1772.
↑ villemin.gerard.free.fr Nombres premiers : Historique.
↑ (en) www.isthe.com Site de Landon Curt Noll : Amdahl 6.
↑ ^{a et b} (en) « A Large Prime Number », sur Université d'Arizona.
↑ M41 prouvé le premier décembre 2011 comme étant bien le 41^e. Voir (en) « Older and lower profile GIMPS Milestones ».
↑ ^{a b c et d} On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres premiers de Mersenne entre le 41^e (M_24 036 583) et le 47^e (M_43 112 609). Dans cet intervalle, le classement est donc provisoire. Déjà le 29^e nombre premier de Mersenne fut découvert après le 30^e et le 31^e, de même que M_43 112 609 fut découvert quinze jours avant M_37 156 667, plus petit. De même le 46^e (M_42 643 801) a été découvert neuf mois après le 47^e (M_43 112 609).
↑ ^{a et b} (en) www.mersenne.org GIMPS : Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^32 582 657 – 1.
↑ (en) primes.utm.edu Titan : Edson Smith.
↑ (en) « prime.isthe.com »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)} (consulté le 16 mai 2017) Site de Landon Curt Noll : 2^43 112 609 – 1 is prime.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers : voyage au cœur de l'arithmétique, Paris, Belin, coll. « Pour la science », 2000, 336 p. (ISBN 2-84245-017-5, ISSN 0224-5159)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Arithmétique et théorie des nombres

[autre-1] En décembre 2018, cependant, le 9^e plus grand nombre premier connu était $10223.2^{31172165}+1$ , découvert en 2016, et qui n'est pas de cette forme (voir sur le site de Chris Caldwell la liste des plus grands nombres premiers connus).

[computerhistory-2] {a et b} Chris Caldwell, « The Largest Known Prime by Year: A Brief History », Prime Pages (consulté le 20 janvier 2016)

[3] (en) « Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime! », sur www.mersenne.org, 21 décembre 2018 (consulté le 24 décembre 2018)

[prizes-4] (en) « Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize », Electronic Frontier Foundation, Electronic Frontier Foundation, 14 octobre 2009 (consulté le 26 novembre 2011)

[briefhistory-5] {a et b} (en) Chris Caldwell, The Largest Known Prime by Year: A Brief History at The Prime Pages. Part 1 : Before Electronic Computers, Part 2 : The Age of Electronic Computers.

[history-6] (en) mersenne.org GIMPS : Finding World Record Primes Since 1996.

[Delahaye166-7] Delahaye 2000, p. 166-167.

[8] Le huitième nombre de Mersenne (M8) fut trouvé en 1750 mais publié en 1772.

[historique-9] villemin.gerard.free.fr Nombres premiers : Historique.

[10] (en) www.isthe.com Site de Landon Curt Noll : Amdahl 6.

[alargeprime-11] {a et b} (en) « A Large Prime Number », sur Université d'Arizona.

[12] M41 prouvé le premier décembre 2011 comme étant bien le 41^e. Voir (en) « Older and lower profile GIMPS Milestones ».

[doute-13] {a b c et d} On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres premiers de Mersenne entre le 41^e (M_24 036 583) et le 47^e (M_43 112 609). Dans cet intervalle, le classement est donc provisoire. Déjà le 29^e nombre premier de Mersenne fut découvert après le 30^e et le 31^e, de même que M_43 112 609 fut découvert quinze jours avant M_37 156 667, plus petit. De même le 46^e (M_42 643 801) a été découvert neuf mois après le 47^e (M_43 112 609).

[various-14] {a et b} (en) www.mersenne.org GIMPS : Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^32 582 657 – 1.

[15] (en) primes.utm.edu Titan : Edson Smith.

[16] (en) « prime.isthe.com »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)} (consulté le 16 mai 2017) Site de Landon Curt Noll : 2^43 112 609 – 1 is prime.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]