Conjecture d'Oppermann

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En mathématiques, a conjecture d'Oppermann est un problème non résolu sur la distribution des nombres premiers[1]. Elle est étroitement liée, mais plus forte, que la conjecture de Legendre, la conjecture d'Andrica et la conjecture de Brocard. Il est nommé d'après le mathématicien danois Ludvig Oppermann, qui l'a posé en 1882[2].

Énoncé[modifier | modifier le code]

La conjecture stipule que, pour chaque entier x > 1, il y a au moins un nombre premier entre

x(x − 1) et x2,

et au moins un autre premier entre

x2 et x(x + 1).

Il peut être exprimé de manière équivalente en indiquant que la fonction de compte des nombres permiers doit prendre des valeurs inégales aux extrémités de chaque intervalle[3]. C'est-à-dire:

π(x2 − x) < π(x2) < π(x2 + x) pour x > 1

avec π(x) étant le nombre de nombres premiers inférieur ou égal à x.

Conséquences[modifier | modifier le code]

Si la conjecture est vraie, alors la taille de l'écart serait de l'ordre de

.

Cela signifie également qu'il y aurait au moins deux premiers entre x2 et (x + 1)2 (un entre x2 et x(x + 1) et l'autre entre x(x + 1) et (x + 1)2), renforçant la conjecture de Legendre selon laquelle il y a au moins un nombre premier entre x2 et (x + 1)2. Cela impliquerait aussi la véracité de laconjecture de Brocard selon laquelle il y a au moins quatre nombres premiers entre les carrés de nombres premiers impairs consécutifs. De plus, cela impliquerait que les plus grands écarts possibles entre deux nombres premiers consécutifs pourraient être au plus proportionnels au double de la racine carrée des nombres, comme le stipule la conjecture d'Andrica.

La conjecture implique également qu'au moins un premier peut être trouvé dans chaque quart de la révolution de la spirale d'Ulam.

Statut[modifier | modifier le code]

Même pour les petites valeurs de x, les nombres de nombres premiers dans les rangs données par la conjecture sont beaucoup plus grands que 1, fournissant des preuves solides que la conjecture est vraie. Cependant, la conjecture d'Oppermann n'a pas été prouvée en 2018.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, (ISBN 9781118045718), p. 164.
  2. L. Oppermann, Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser, , 169–179 p. (lire en ligne)
  3. Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, Springer, (ISBN 9780387201696, lire en ligne), p. 183.