Nombre premier de Ramanujan

En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.

Origines et définition[modifier | modifier le code]

En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration^[1] du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :

\forall n,\ \exists N,\ x\geq N\Rightarrow \pi (x)-\pi (x/2)\geq n

;

en particulier :

\pi (x)-\pi (x/2)\geq 1,2,3,4,5,\dots ~

pour tout

x \geq 2, 11, 17, 29, 41, ...

(suite A104272 de l'OEIS) respectivement,

où $\pi (x)$ est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ .

L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres $2, 11, 17, 29, 41$ sont les plus petits entiers conformes à cette définition. Autrement dit :

Le

n

-ième premier de Ramanujan est l'entier

R n

le plus petit à satisfaire la condition :

\pi (x)-\pi (x/2)\geq n,~

pour tout

x \geq R n

^[2].

Une autre façon de formuler ce résultat est :

Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers

R n

les plus petits à garantir qu'il y a (au moins)

n

premiers dans

] x /2, x]

pour tout

x \geq R n

.

Puisque $R n$ est le plus petit entier conforme à ces conditions, il doit être premier. En effet :

Pour tout entier

m

fixé, pour tout

x\in [m,m+1[,~

] x /2, x]

contient les mêmes entiers ; donc

\pi (R_{n}-1)-\pi {\big (}(R_{n}-1)/2{\big )}<n.~

Or

\ \pi (R_{n})-\pi (R_{n}/2)\geq n,

donc

]R_{n}/2,R_{n}]

doit contenir plus de premiers que

](R_{n}-1)/2,R_{n}-1].

Mais il ne peut en contenir qu'un de plus : ce ne peut être que

R n

.

Conséquence : $\ \pi (R_{n})-\pi (R_{n}/2)=n.$

Par exemple, le nombre de nombres premiers dans $]6,5 ; 13]$ est trois (ce sont $7, 11, 13$ ). Mais $13$ n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car dans $]8 ; 16]$ , il n'y a que deux nombres premiers (ce sont $11, 13$ ). Ce n'est qu'à partir de $17$ qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers dans $] x /2, x]$ , donc $R 3 = 17$ .

Liste de nombres premiers de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Les plus petits termes de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont :

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, ... (suite A104272 de l'OEIS).

Inégalités et équivalences[modifier | modifier le code]

Pour tout $n \geq 1$ ,

2 n ln (2 n) < R n < 4 n ln(4 n)

.

Pour tout $n > 1$ ,

p 2 n < R n < p 3 n

,

où

p n

est le

n

-ième nombre premier.

Si $n$ tend vers l'infini, $R n$ est équivalent au $2 n$ -ième premier, c.-à-d. :

R n ~ p 2 n

;

et donc, en utilisant le théorème des nombres premiers,

R n ~ 2 n ln(2 n)

.

Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate"^[3], sauf l'inégalité $R n < p 3 n$ ci-dessus, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram en 2010.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ S. Ramanujan, "A proof of Bertrand's postulate". Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. [1]
↑ Jonathan Sondow, Ramanujan Prime from MathWorld
↑ J. Sondow, "Ramanujan primes and Bertrand's postulate". Amer. Math. Monthly 116 (2009), 630–635. [2]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Arithmétique et théorie des nombres

[1] S. Ramanujan, "A proof of Bertrand's postulate". Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. [1]

[2] Jonathan Sondow, Ramanujan Prime from MathWorld

[3] J. Sondow, "Ramanujan primes and Bertrand's postulate". Amer. Math. Monthly 116 (2009), 630–635. [2]

[1]

[2]

[3]