Constante des nombres premiers

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En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel , compris entre 0 et 1, dont le -ième chiffre binaire après la virgule est 1 si  est premier et 0 si est composé ou égal à 1.

En d'autres termes, le développement binaire de correspond à la fonction caractéristique de l'ensemble des nombres premiers :

Le début du développement décimal de ρ est :  (suite A051006 de l'OEIS).

Le début de son développement binaire est : (suite OEISA010051 de l'OEIS).

On démontre facilement par l'absurde que  est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.

Notons le -ième chiffre de ce développement binaire de . Il existe donc deux entiers et tels que pour tout .

Pour et comme ci-dessus, choisissons un nombre premier . Alors, , ce qui est absurde puisque est composé.

Références[modifier | modifier le code]