Application affine

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 Ne pas confondre avec la transformation géométrique appelée « affinité ».
Représentation usuelle d’une carte de France quadrillée.
Image de la précédente représentation par une application affine. Le quadrillage permet de mieux visualiser la conservation du parallélisme.

En géométrie, une application affine est une transformation géométrique conservant le parallélisme. Cette notion généralise celle de fonction affine en analyse.

Dans un vocable mathématique plus précis, une application est affine entre deux espaces affines compatible avec leur structure si elle envoie les objets géométriques, comme les droites, les plans et les espaces sur le même type d’objet, tout en préservant la notion de parallélisme.

Dans son Introductio in analysin infinitorum de 1748, Leonhard Euler introduit le mot « affinité » dans un sens mathématique, avec une acception différente, lorsqu’il discute les courbes dont les abscisses et les ordonnées respectives sont dans des rapports déterminés, mais pas nécessairement égaux : « à cause de l’espèce d’analogie qu'on remarque dans les courbes qu’on obtient de cette manière, on dira qu’elles ont entre elles de l’affinité[1]. »

Définition et premières propriétés[modifier | modifier le code]

Soient E et E' deux espaces affines, d'espaces vectoriels associés et . Une application f de E dans E' est dite affine lorsqu'elle vérifie l'une deux conditions équivalentes suivantes (donc les deux) :

  1. il existe une application linéaire , un point O de E et un point O' de E', tels que
  2. f conserve les barycentres.

Dans la condition 1, étant donnés deux points O et O', l'équation générique reliant les applications f et détermine entièrement chacune en fonction de l'autre, et la linéarité de impose que , c'est-à-dire que O' soit égal à f(O). D'après la relation de Chasles, l'application , appelée la partie linéaire de l'application affine f, est alors indépendante du choix de O, autrement dit :

Si E est de dimension n, f est également déterminée par la donnée de n + 1 points formant un repère affine et de leurs images.

Deux sous-espaces affines parallèles dans E ont pour image des sous-espaces affines parallèles dans E' (les applications affines préservent le parallélisme).

Une application affine d'un espace affine dans lui-même est appelée endomorphisme affine, et un endomorphisme bijectif est appelé un automorphisme, ou plus couramment une transformation affine. Les transformations affines forment un groupe, appelé le groupe affine de E et noté GA(E).

Exemples d'endomorphismes affines[modifier | modifier le code]

Points fixes des endomorphismes affines[modifier | modifier le code]

Les points fixes jouent un rôle important pour les endomorphismes affines car un endomorphisme affine ayant un point fixe est "moralement" une application linéaire (du vectorialisé ).

S'il est non vide, l'ensemble des points fixes de l'endomorphisme affine est un sous-espace affine de direction  : de plus si , alors il existe au moins un point invariant pour . On en déduit qu'en dimension finie a un unique point invariant si et seulement si n'a pas de vecteurs invariants.

D'autre part, pour un endomorphisme affine sans point fixe, on trouve facilement une translation qui, composée avec , donne une application ayant un point fixe, mais cette translation ne commute pas avec en général. Cependant, si , il existe un unique vecteur et une unique application affine ayant un point fixe telle que  ; c'est le cas par exemple des symétries glissées.

Transformation affine comme cas particulier d'homographie[modifier | modifier le code]

L'espace affine peut être complété par un hyperplan à l'infini en un espace projectif  ; une transformation affine de se prolonge alors de façon unique en une transformation projective, ou homographie de , laissant invariant.

Réciproquement, toute homographie laissant un hyperplan invariant se restreint dans le complémentaire de cet hyperplan à une transformation affine.

En raccourci, les transformations affines sont les homographies ayant un hyperplan invariant, et on en déduit que le groupe affine est un sous-groupe du groupe projectif.

Les applications affines dans Kn[modifier | modifier le code]

Les applications affines dans K (le corps des scalaires) sont exactement les applications de la forme

avec et deux scalaires quelconques. On a alors: . L'application linéaire associée, , est définie par :

De façon plus générale, une application affine est une application de la forme

est une matrice et une matrice . Alors, , étant le vecteur nul de . L'application linéaire associée, , est définie par

Translations et affinités dans Rn[modifier | modifier le code]

  • L'application est une translation de vecteur si et seulement si

  • L'application est une affinité de coefficient si et seulement si la matrice n'admet pour valeurs propres que et , et si les espaces propres associés sont supplémentaires (la somme de leurs dimensions est égale à , l'une d'elle pouvant être nulle).
    • En particulier, si , l'affinité est une projection (la matrice représente une projection vectorielle dans ).
    • Si , alors l'affinité est une symétrie (la matrice représente une symétrie vectorielle).
    • Si n'admet qu'une seule valeur propre de multiplicité , alors est une homothétie de rapport et de centre qui est l'unique point solution du système linéaire

Caractérisations géométriques des applications affines[modifier | modifier le code]

On suppose dans ce paragraphe que K = et que les espaces sont de dimension finie.

1) Les applications affines sont les applications conservant les barycentres.

Ceci vaut aussi bien pour les barycentres de familles finies que des centres d'inertie de parties munies de fonctions de masse ; le centre d'inertie d'un objet aura pour image par une application affine le centre d'inertie de l'objet image.

Grâce à l'associativité, on peut réduire la condition au fait de conserver les barycentres de deux points, mais on ne peut aller jusqu'à la conservation des milieux : toute application -affine conserve les milieux, or on peut construire par l'axiome du choix des applications ℚ-linéaires non ℝ-linéaires donc des applications ℚ-affines non ℝ-affines.

Cependant, on peut montrer que

2) Les applications affines sont les applications continues conservant les milieux (ou, ce qui est équivalent, les parallélogrammes).

3) En dimension supérieure ou égale à 2, les transformations affines sont les bijections transformant une droite en une droite.

Ceci est une version du théorème fondamental de la géométrie affine. Il est remarquable qu'il n'y ait pas besoin de préciser que deux droites parallèles ont des images parallèles.

On peut même restreindre la caractérisation à :

4) En dimension supérieure ou égale à 2, les transformations affines sont les bijections transformant 3 points alignés en 3 points alignés.

Voir la page théorème fondamental de la géométrie affine pour plus de précisions.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dans le chapitre 18 du 2e volume, « De la similitude et de l’affinité des courbes », Leonhard Euler (trad. J. B. Labey), Introduction à l’analyse infinitésimale, vol. 2, Paris, Bachelier, , p. 236, [Texte en français]