Kurt Gödel

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Kurt Gödel (28 avril 190614 janvier 1978) est un logicien et mathématicien austro-américain.

Son résultat le plus connu, le théorème d'incomplétude de Gödel, affirme que n'importe quel système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers admet des propositions sur les nombres entiers ne pouvant être ni infirmées ni confirmées à partir des axiomes de la théorie. Gödel a également démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. Il a aussi démontré la cohérence relative de l'hypothèse du continu, montrant qu'elle ne peut pas être réfutée à partir des axiomes admis de la théorie des ensembles, en admettant que ces axiomes soient cohérents. Il est aussi à l'origine de la théorie des fonctions récursives.

Le plus souvent considéré comme autrichien, il est né à Brno en Autriche-Hongrie, est naturalisé tchécoslovaque à 12 ans, puis autrichien à 23 ans. Lorsque Hitler ordonne l'annexion de l'Autriche, Gödel devient allemand (il a alors 32 ans). Il part aux États-Unis pendant la Seconde Guerre mondiale, et obtient la double nationalité austro-américaine à 42 ans.

Il publie ses résultats les plus importants en 1931 à l'âge de 25 ans, alors qu'il travaille encore pour l'université de Vienne (Autriche).

Biographie[modifier | modifier le code]

Enfance[modifier | modifier le code]

Fils de Rudolf Gödel, dirigeant d'une petite entreprise textile, et de Marianne Gödel (née Handschuh). Au sein de cette famille germanophone, le petit Kurt est surnommé « Der Herr Warum » (« M. Pourquoi »)[1]. Il fréquente l'école primaire puis secondaire à Brno, qu'il terminera avec les honneurs en 1923. Bien que Kurt ait d'abord excellé en langues, il devient peu de temps plus tard un fervent amateur d'histoire et de mathématiques. Cette passion pour les mathématiques prend une nouvelle ampleur en 1920 lorsque son frère aîné Rudolf (né en 1902) part pour Vienne suivre un cursus médical. Adolescent, Kurt étudie déjà les travaux de Gabelsberger, la théorie de Goethe sur Isaac Newton, et les écrits de Kant.

Études à Vienne[modifier | modifier le code]

À l'âge de 18 ans, Kurt rejoint son frère Rudolf à l'université de Vienne. Il a à ce moment déjà acquis un niveau universitaire en mathématiques et en philosophie. Bien qu'initialement inscrit pour étudier la physique théorique, il suit aussi un enseignement en mathématiques, avec le professeur Philipp Furtwängler et en philosophie. C'est à cette époque qu'il adhère au réalisme mathématique. Il lit Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft (Premiers principes métaphysiques de la science de la nature) de Kant, et rejoint le Cercle de Vienne où officient Moritz Schlick, Hans Hahn et Rudolf Carnap. Kurt étudie par la suite la théorie des nombres mais se tourne vite vers la logique mathématique après un séminaire donné par Moritz Schlick sur l'introduction à la philosophie des mathématiques, de Bertrand Russell.

C'est encore à l'université de Vienne qu'il rencontre celle qui deviendra (tardivement) sa femme, Adele Nimbursky (née Porkert). Il publie ses premiers articles sur la logique et assiste à une conférence de David Hilbert à Bologne sur la complétude et la cohérence des systèmes mathématiques. En 1929 Gödel devient citoyen autrichien, avant d'obtenir cette même année son doctorat, sous l'égide de Hans Hahn. Dans sa thèse il établit la complétude du calcul des prédicats du premier ordre, résultat connu sous le nom de théorème de complétude de Gödel.

Travaux à Vienne[modifier | modifier le code]

Gödel obtient son doctorat en philosophie en 1930. Il prouve en 1930 la complétude de la logique classique du premier ordre, c'est-à-dire que toute formule valide est démontrable, résultat qui fut publié par l'Académie des sciences de Vienne. En 1931, il publie son célèbre théorème d'incomplétude dans « Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme » (en). Il prouve dans cet article que pour tout système axiomatique assez puissant pour décrire les nombres naturels, on peut affirmer que :

  1. il ne peut être à la fois cohérent et complet (ce qui est le théorème connu sous le nom de « théorème d'incomplétude ») ;
  2. si le système est cohérent, alors la cohérence des axiomes ne peut pas être prouvée au sein même du système.

Ces théorèmes mettent fin à des siècles de tentatives de proposer un jeu d'axiomes définitif pour situer l'ensemble des mathématiques sur une base axiomatique, à la manière des Principia mathematica de Russell et Whitehead et du formalisme de Hilbert. Ils impliquent aussi qu'il y a des questions mathématiques qui sont valides mais qui ne sont pas démontrables.

Le principe du théorème d'incomplétude est simple. Gödel a essentiellement bâti « une formule qui énonce qu'elle n'est pas démontrable » dans un système formel donné. Si cette formule était démontrable, cela signifierait que l'on pourrait démontrer « qu'elle n'est pas démontrable », d'où la contradiction. Donc cette formule n'est pas démontrable. C'est bien ce qu'elle énonce, donc elle est valide. Il existe donc une formule valide non démontrable[2].

Pour préciser ces faits, Gödel a eu besoin de résoudre de nombreux problèmes techniques, comme le « codage des démonstrations » et « le concept même de démontrabilité » au sein des nombres entiers. Il a aussi eu besoin d'un procédé pour décrire une formule qui énonce sa propre non-démontrabilité : le procédé « diagonal ». Ces détails sur la forme expliquent pourquoi sa publication de 1931 est aussi longue et ardue à lire et pourquoi ses contemporains, à l'exception notable de John von Neumann et Alfred Tarski, n'ont pas compris son résultat.

Gödel obtient son diplôme à l'université de Vienne en 1932, et y devient Privatdozent (conférencier) en 1933.

Cependant, après l'assassinat le 22 juin 1936 de Moritz Schlick (dont le séminaire avait fait naître son intérêt pour la logique) par Hans Nelböck, un jeune étudiant aliéné, Gödel est particulièrement affecté et traverse sa première dépression.

Voyages aux États-Unis[modifier | modifier le code]

L'année 1933 est aussi pour Gödel celle du premier départ pour les États-Unis, où l'Institute for Advanced Study de Princeton lui propose un poste de « membre temporaire » pour une année. Il rencontre Albert Einstein, avec qui il lie une solide amitié. Plus tard, il met au point l'idée de la calculabilité, étudie les fonctions récursives, si bien qu'il donne une conférence sur les fonctions récursives générales et le concept de vérité. Ces travaux sont développés en utilisant la construction des nombres de Gödel.

En 1934, il retourne à l'Institute for Advanced Study de Princeton et y donne une série de conférences intitulée « De l'indécidabilité des postulats des systèmes mathématiques formels ». Stephen Kleene et J. Barkley Rosser prennent en note ces conférences, publiées dans les Œuvres complètes de Gödel.

Gödel retourne à Princeton plus tard la même année. Les voyages et ses travaux l'ont épuisé, si bien que la plus grande partie de l'année suivante doit être consacrée au traitement d'une nouvelle dépression. Il revient à l'enseignement en 1937, période durant laquelle il travaille sur la preuve de cohérence relative et celle d'indépendance de l'hypothèse du continu. Il échoue sur l'indépendance (qui ne sera démontrée qu'en 1963, par Paul Cohen), mais il réussit à établir que cette hypothèse ne peut pas être réfutée à partir des axiomes de la théorie des ensembles. Il épouse Adele le 20 septembre 1939 à l'université Notre Dame.

Travaux à Princeton[modifier | modifier le code]

Après l'Anschluss de 1938, l'Autriche tombe dans le giron de l'Allemagne nazie. Cette dernière ayant aboli le titre de Privatdozent, Gödel a à se soucier d'une incorporation dans l'armée allemande. Ses liens avec des professeurs juifs, comme son tuteur de thèse Hans Hahn, lui causent des problèmes ; il est même agressé, fin 1939, par un petit groupe de nazis[3]. Sa femme et lui partent donc se réfugier aux États-Unis en janvier 1940. Ils arrivent à San Francisco le 4 mars, après avoir emprunté le Transsibérien et traversé l'océan Pacifique le plus discrètement possible, de peur d'être arrêtés[3]. Après leur arrivée, Kurt et Adele s'installent à Princeton, où Gödel réintègre l'Institute for Advanced Study. Il s'y tourne plus encore vers la philosophie et la physique. Il étudie les travaux de Leibniz et, à un moindre degré, ceux de Kant et de Husserl.

Il poursuit ses travaux de logicien et publie en 1940 The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Il introduit dans ce travail la notion d'univers constructible, modèle de la théorie des ensembles dans lequel les seuls ensembles existants sont ceux qui peuvent être construits à partir d'ensembles plus élémentaires. Gödel prouve qu'aussi bien les axiomes de choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vrais dans un univers constructible, et doivent donc être cohérents. Il a aussi l'intuition de la notion de problème NP-complet[4].

À la fin des années 1940, il démontre l'existence d'une solution paradoxale aux équations de la théorie de la relativité générale d'Einstein. Les « univers tournants » auraient rendu possible le voyage dans le temps, et poussent Einstein à douter de sa propre théorie (voir univers de Gödel). Aujourd'hui, ce type de solution est considéré comme une curiosité mathématique sans grand intérêt physique, mais dont le grand mérite est d'avoir stimulé la recherche d'autres solutions exactes aux équations d'Einstein.

Devenu membre permanent de l'Institute for Advanced Study en 1946, il est naturalisé citoyen américain en 1948. Il obtient un poste de professeur à l'institut en 1953, refuse le titre de professeur honoraire en 1975 et devient professeur émérite en 1976.

En mars 1951, Gödel reçoit (en même temps que le physicien Julian Schwinger) le premier prix Einstein, puis est nommé docteur honoris causa dans plusieurs universités (Yale, Harvard, etc.), et se voit décerner la National Medal of Science en 1974.

Réflexions diverses[modifier | modifier le code]

Âgé de 70 ans, Gödel, qui est profondément croyant, fait circuler parmi ses amis une élaboration basée sur la preuve ontologique de l'existence de Dieu, inspirée de l'argument d'Anselme de Cantorbéry et de considérations de Leibniz. Cette élaboration est maintenant connue sous le nom de « preuve ontologique de Gödel ». Il s'intéressait aussi beaucoup aux visions des grands mystiques comme sainte Catherine Emmerich ou de Grégoire Palamas[5].

Gödel, en plus de sa croyance en Dieu, s'interroge sur l'existence des anges et du diable[6] dans un univers mathématique, un univers « idéel », par opposition à l'univers réel perceptible, dans lequel vivraient les « anges » et « démons », comme nous vivons dans l'univers réel[7]. Cela était une conséquence de ses réflexions sur l'intuition et l'incomplétude, puisque l'intuition a parfois produit des thèses mathématiques ne pouvant être prouvées ou infirmées mathématiquement. Il considère que soit le cerveau est une machine de Turing, et il existe donc des problèmes indécidables pour l'humain, ce qui signifie que « les propriétés mathématiques qui nous échappent ont une existence autonome »[8], soit le cerveau surpasse les machines de Turing, et donc l'esprit humain est « une réalité indépendante du monde sensible »[8]. La difficulté de cette vision est la communication du cerveau, matériel et fini, avec cet univers idéel : il envisage l'existence d'un « organe de l'intuition » ayant accès à cet univers idéel[9], malgré les difficultés de cette spéculation.

Une conséquence de sa vision d'un monde réel limité voulu par Dieu, est que la recherche, la métaphysique, la philosophie, etc., sont en contradiction avec cette volonté de limitation de la compréhension du monde. Ce point alimente sa paranoïa, et il va même jusqu'à estimer les grands penseurs en danger[10],[11]. Gödel préfère rester discret sur cette vision des choses, qui n'est décrite que dans ses notes personnelles : « je ne rends publiques que les parties de ma philosophie qui se prêtent le moins à la controverse »[12], à cause de l'esprit du temps, à la fois réception de ses confrères et ordre du monde.

Décès et distinctions[modifier | modifier le code]

Pierre tombale de Kurt Gödel.

Gödel fut tout au long de sa vie un homme en retrait, avec une tendance certaine à l'hypocondrie[13]. Approchant de la mort, il se fait de plus en plus de souci pour sa santé, se convainc de l'existence d'un complot visant à l'empoisonner. Il cesse alors de s'alimenter[6], tombant progressivement dans la cachexie. Il meurt le 14 janvier 1978, à Princeton (New Jersey, États-Unis) ; il pesait alors environ 30 kilos[14].

La société Kurt Gödel, fondée en 1987, est baptisée en son honneur[15]. C'est une organisation internationale pour la promotion de la recherche dans les champs de la logique, de la philosophie et de l'histoire des mathématiques.

Un prix Gödel, qui récompense les meilleurs travaux en informatique théorique, est fondé en son honneur en 1992.

Anecdote[modifier | modifier le code]

À la fin de 1947, Gödel doit subir un examen en vue de sa naturalisation, avec pour témoins ses amis Oskar Morgenstern et Albert Einstein. Pour une personne possédant ses références il s'agit d'une formalité, mais Gödel se prépare avec une extrême minutie, et alors qu'il étudie la Constitution américaine, il y découvre une faille logique qui permettrait de transformer en toute légalité le régime politique du pays en régime dictatorial. Il fait part de sa découverte à ses deux amis, fort inquiets que Gödel n'aborde le sujet avec le juge chargé de l'entretien préalable à la naturalisation. Tous deux sont convaincus d'avoir réussi à en dissuader Gödel, malheureusement en quelques phrases le sujet vient sur le tapis : le juge s'enquiert d'abord du régime politique en vigueur en Autriche, Gödel répond que celui-ci, autrefois une démocratie, s'est transformé en dictature ; le juge rétorque qu'une telle chose ne pourrait arriver en Amérique, mais Gödel soutient le contraire, et dit qu'il peut le prouver. Fort heureusement, le juge, qui connaît Einstein, décide d'interrompre là l'entretien[16],[17].

Œuvres[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Palle Yourgrau 2005, p. 17.
  2. Une démonstration moderne du théorème d'incomplétude consiste à démontrer que l'ensemble des formules valides n'est pas récursivement énumérable. Comme l'ensemble des théorèmes est à l'évidence récursivement énumérable et inclus dans celui des formules valides, ces deux ensembles sont disjoints ; d'où le résultat.
  3. a et b Palle Yourgrau 2005, p. 114.
  4. Cf une lettre de Gödel à Von Neumann, sur la page Richard J. Lipton.
  5. Jean Staune - Notre existence a-t-elle un sens ? - Presses de la Renaissance-2007-p. 427.
  6. a et b Françoise Monier, « Laurent Lemire se passionne pour les génies atteints de folie », L’express,‎ 6 avril 2012 (lire en ligne) : « Kurt Gödel, peut-être le plus grand mathématicien du XXe siècle, auteur du théorème d'incomplétude, croit aux anges et au diable. Persuadé qu’on veut l’empoisonner, il meurt, volontairement affamé. »
  7. « Les idées sont-elles aux anges ce que la matière est pour nous ? » (note de Kurt Gödel), Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 94.
  8. a et b Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 121-123.
  9. « La position d'un œil mathématique est l'une des thèses les plus stables de la métaphysique de Gödel. Elle apparaît dès les cahiers philosophiques et s'affirme encore dans les conversations avec Wang Hao. », Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 94-95.
  10. « Husserl a atteint la fin, il est arrivé à la science de la métaphysique. [Mais] il a dû cacher sa grande découverte. La philosophie est une science persécutée. S'il n'avait pas caché [sa découverte], la structure du monde aurait pu le tuer » (Kurt Gödel, rapporté par Wang Hao dans A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, p. 167), tiré en l'état de Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 94.
  11. « Les philosophes sont persécutés. Il y a un complot contre Leibniz. Gödel est persuadé qu'une société secrète s'attache à détruire les écrits de celui-ci. », Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 101.
  12. (Kurt Gödel, rapporté par Wang Hao dans A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, p. 235), tiré en l'état de Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 22.
  13. Palle Yourgrau 2005, p. 120.
  14. Palle Yourgrau 2005, p. 14.
  15. The Kurt Gödel Society
  16. Palle Yourgrau, Einstein/Gödel. Quand deux génies refont le monde, éd. Dunod (2005), p. 129, qui s'appuie sur John Dawson, Logical Dilemmas: The Life and Works of Kurt Gödel, Wellesley (Mass.), éd. A. K. Peters (1997).
  17. Kurt Gödel: A Contradiction in the U.S. Constitution? Une page retraçant la redécouverte du seul témoignage direct de cette anecdote, rédigé par Morgenstern, et prouvant définitivement qu'il ne s'agit pas d'une légende urbaine. Le fin mot de l'histoire (quelle contradiction Gödel avait découverte) n'est pas révélé.

Annexes[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

Fournit, entre deux commentaires informels, une traduction en français de la démonstration originelle de Gödel de ses théorèmes d'incomplétude.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]