Auguste De Morgan

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Auguste De Morgan

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Auguste De Morgan

Naissance 27 juin 1806
Madurai (Raj britannique maintenant Inde)
Décès 18 mars 1871 (à 64 ans)
Londres (Angleterre)
Domicile Angleterre
Inde
Nationalité Drapeau de Grande-Bretagne Britannique
Champs Mathématiques
Logique
Institutions University College de Londres<
Diplôme Trinity College (Cambridge)
Université de Cambridge
Renommé pour Lois de De Morgan
Algèbre universelle

Compléments

Il est le père de William Frend De Morgan

Auguste (ou Augustus) De Morgan (27 juin 1806 à Madurai (Tamil Nadu) - 18 mars 1871) est un mathématicien et logicien britannique, né en Inde. Il est le fondateur avec Boole de la logique moderne ; il a notamment formulé les lois de De Morgan[1].

Enfance[modifier | modifier le code]

Né d'un père colonel dans l'armée au service de la compagnie des Indes orientales, sa mère était une descendante de James Dodson (en), qui établit une table d'antilogarithmes, c’est-à-dire les nombres correspondants pour extraire les logarithmes. À cause des révoltes, le colonel envoya sa famille en Angleterre quand Auguste avait sept mois. Dès lors il se considéra comme un Britannique au sens le plus large.

De Morgan perd son père l'année de ses dix ans. Avec sa mère qui voulait faire de son fils un religieux, ils habiteront dans diverses villes dans le sud-ouest de l'Angleterre ce qui lui fit changer souvent d'école. Ses talents mathématiques ont été découverts lorsqu'il avait quatorze ans. Un ami de la famille le trouva faisant un diagramme élaboré d'Euclide avec une règle et des compas et lui expliqua sa logique.

Auguste De Morgan avait un problème à un œil, ce qui lui rendait plus difficile la pratique du sport et le rendait sujet à des moqueries. Il prétendait qu'il percevait néanmoins la distance et la solidité.

Éducation universitaire[modifier | modifier le code]

En 1823, il entre à Trinity College (Cambridge) à Cambridge, où ses tuteurs, George Peacock et William Whewell deviennent ses amis. Il deviendra un excellent joueur de flûte, également. Dans le concours mathématique interne, il accède au statut de wrangler, ce qui lui permet d'étudier pour un bac d'art. Mais pour cela, il lui faut passer un test de théologie. Ce qu'il refusera, bien que connaissant la matière. Vers 1875 cette exigence sera abolie.

Université londonienne[modifier | modifier le code]

Comme aucune carrière ne lui est ouverte, il décide de faire des études de droit à Londres, où une université, University College, est en création. Cet établissement se propose d’accueillir notamment ceux qui ne sont pas anglicans ni presbytériens. De Morgan y devient professeur de mathématiques.

Lors d'une querelle entre le professeur d'anatomie et la hiérarchie, De Morgan prend parti pour son collègue. Il est congédié mais son successeur se noie quelques années plus tard. De Morgan est invité à reprendre son poste : il le gardera pendant trente ans.

Il s'impose comme l'un des membres les plus actifs à la Society for the Diffusion of Useful Knowledge (en). En 1837, il épouse Sophie Elisabeth, l'une des filles de son ami William Frend.

La fondation, par décret royal, de l’Université de Londres en 1836, oblige les autorités de l’établissement où enseigne De Morgan, à changer de nom, pour devenir « University College de Londres ».

De Morgan eut beaucoup de succès pédagogique. Au cours magistral lu en chaire par le professeur, il substitua la méthode suivante : il faisait un cours d'une heure puis donnait un certain nombre de problèmes et d'exemples illustrés. Les étudiants devaient donner les résultats qu'il apportait corrigés à la séance suivante.

Auguste eut un fils, George, qui le suivit dans la carrière qui institua une société mathématique, où les nouveaux articles étaient non seulement lus, mais discutés.

Retraite[modifier | modifier le code]

Augustus De Morgan.

En 1866, la chaire de Philosophie de l'Esprit de University College est vacante. Le Dr Martineau, un religieux unitarien et professeur de cette matière, est recommandé par le sénat du conseil. Mais au sein du conseil, certains s'opposent à la nomination d'un unitarien, d'autres à la philosophie déiste : on recrute donc un laïc, adepte de Bain et de Spencer. De Morgan considère que le principe de neutralité religieuse a été violé et démissionne : il a alors soixante ans. Ses élèves lui assurent une pension de 500 £, mais le malheur s'acharne. Deux ans plus tard, son fils George, « le jeune Bernoulli » comme il aimait à l'appeler, meurt, puis vient le tour d'une de ses filles. Devenu dépressif, il meurt au début de l'année 1871.

Mathématiques[modifier | modifier le code]

De Morgan était un écrivain brillant et plaisant, y compris dans sa correspondance, notamment avec William Hamilton.

Il n'aimait pas la campagne et tandis que sa famille profitait du bord de la mer, les hommes de science avaient du bon temps dans des clubs et lui restait dans des librairies poussiéreuses de la métropole. Il ne vota jamais à une élection ni ne visita les monuments.

La meilleure présentation de sa conception de l'algèbre se trouve dans Trigonométrie et algèbre double publiée en 1849. L'étape suivante aurait dû être l'algèbre « triple » et si a+b\sqrt{-1} représente vraiment une ligne dans un plan donné, il devrait être possible de trouver un troisième terme qui ajouté aux précédents représenterait une ligne dans l'espace. Argand et quelques autres devinèrent que c'était a + b\sqrt{-1} + c\sqrt{-1}\,^{\sqrt{-1}} bien que cela contredise la vérité établie par Euler que \sqrt{-1}\,^{\sqrt{-1}}=e^{-\frac{1}{2} \pi}. De Morgan et bien d'autres travaillèrent dur au problème, mais sans résultat jusqu’à ce que le problème soit pris par Hamilton. Aujourd'hui nous en voyons clairement la raison : le symbole de la double algèbre dénote non une longueur et une direction mais un coefficient et un angle. Dans celui-ci les angles sont confinés à un plan ; donc l'étape suivante devrait être une algèbre quadruple quand l'axe du plan devient variable. Et cela donne la réponse à la première question ; l'algèbre double n'est rien que de la trigonométrie analytique de plan. Mais De Morgan n'alla jamais jusque là.

Quand l'étude des mathématiques fut relancée à l'université de Cambridge, ce fut aussi le cas de la logique. La dynamique venait de Whewell. L'ouvrage Logique formelle de De Morgan, publié en 1847, est principalement intéressant pour son développement du syllogisme numériquement défini. Les aristotéliciens disent qu'à partir de deux propositions particulières comme quelques M sont des A et quelques M sont des B on n'obtient pas de conclusion nécessaire sur les A et les B. Mais ils vont plus loin et disent qu, pour obtenir une conclusion nécessaire sur les A et les B, le terme moyen doit être pris universellement dans l'une des prémisses. De Morgan signala qu'à partir de la plupart des M sont des A et la plupart des M sont des B on déduit que quelques A sont des B et il formula le syllogisme numérique qui met ce principe dans une forme quantitative précise. Supposons que le nombre de M est m, celui des M qui sont des A est a, et celui des M qui sont des B est b ; alors il y a au moins (a+b-m) A qui sont des B. Par exemple avec 1000 personnes sur un bateau dont 500 sont dans le salon et 700 meurent il est obligatoire qu'au moins 700+500-1000, donc 200 de ceux dans le salon furent des victimes.

De Morgan fit alors une avancée majeure en introduisant la quantification des termes. À ce moment, Hamilton enseignait à Édimbourg une doctrine de la quantification du prédicat et une correspondance en jaillit. Cependant De Morgan se rendit rapidement compte que la quantification de Hamilton était d'une autre nature ; cela revenait, par exemple, à remplacer par les deux formes tout A est tout B et tout A est une partie de B la forme aristotélicienne Tout A est B. Hamilton pensa qu'il avait placé la clé de voûte dans l'arche aristotélicienne, comme il le disait, bien que celle-ci eût été une arche étrange qui puisse tenir 2000 ans sans une clé de voûte. Par conséquent, il n'avait aucune place pour les innovations de De Morgan qu'il accusa d'être un plagiaire et la controverse entre les deux hommes fit rage plusieurs années durant dans les colonnes de l'Athenæum et dans leurs publications.

Budget de paradoxes[modifier | modifier le code]

À propos de la notion de paradoxe il explique que c'est par comparaison avec la connaissance établie (acceptée par les autorités). Le budget est une sorte d'anthologie.

La loi de dualité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Lois de De Morgan.

De Morgan est reconnu surtout pour sa redécouverte de la loi de dualité entre la somme et le produit, où « le contraire d’un agrégat (somme logique) est le composé (produit logique) des contraires des agrégants ; le contraire d’un composé est l’agrégat des contraires des composants ». Voici donc l’expression de cette loi de dualité :

  1. ~(x + y) = ~x . ~y
  2. ~(x . y) = ~x + ~y

ou encore (¬ est le passage au complémentaire) :

  1. ¬(x ∩ y) = ¬x ∪ ¬y
  2. ¬(x ∪ y) = ¬x ∩ ¬y

Cette loi est aussi applicable au calcul des propositions en vertu de l’isomorphisme avec le calcul des classes. Il y a donc un principe de dualité entre la conjonction et la disjonction, s’exprimant comme suit :

  1. ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬q
  2. ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬q

Note[modifier | modifier le code]

  1. La particule « de » qui est employé deux fois n'a pas la même signification : le premier indique l'appartenance alors que la deuxième fait partie intégrante du nom de famille et n'est pas la même que celle que l'on peut retrouver dans un nom de famille français de la forme « de quelque chose », il s'agit ici du mot néerlandais « De » qui signifie « The » en anglais, c'est-à-dire « le » (voir particules des noms de famille pour plus de détails). Néanmoins il est fréquent d'entendre également les lois de Morgan bien que ce ne soit pas l'intitulé exact.