Déduction logique

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Article connexe : implication logique.

La déduction logique est un type de relation que l'on rencontre en logique mathématique. Elle relie des propositions dites prémisses à une proposition dite conclusion et préserve la vérité. Prémisses et conclusion qui sont ainsi reliées par une règle de déduction, assurent que si la règle est valide et si les prémisses sont vraies, la conclusion est elle aussi vraie. On dit alors que la conclusion est une conséquence des prémisses, ou parfois que la conclusion vient des prémisses. L'analyse philosophique pose des questions comme « Dans quel sens une conclusion vient-elle des prémisses? » ou « Que signifie pour une conclusion d'être une conséquence de certaines prémisse ? »[1]. La logique philosophique peut donc être définie comme la compréhension et l’analyse de la nature des conséquences logiques et de la vérité logique[2].

Une déduction logique est définie de manière à être à la fois nécessaire et formelle et est explicitée dans des domaines comme la théorie des modèles, qui permet de trouver des univers mathématiques dans lesquels la relation est utile et fournit un sens aux formules, et la théorie de la démonstration, qui fournit un cadre théorique pour sa définition de manière syntaxique[1]. Une est une conséquence d'un ensemble d'autres formules, dans un langage, si et seulement si, en utilisant la logique elle-même (c'est-à-dire sans chercher à donner un sens aux formules) la formule doit être vraie si toutes les formules de l’ensemble de prémisse sont elles aussi vraies[3].

Les logiciens définissent précisément la déduction logique pour un langage formel \mathcal{L} en construisant un système déductif pour ce langage, ou alors en formalisant une interprètation des formules de ce langages qui leur donne une sémantique formelle. Alfred Tarski a déterminé trois conditions importante qu'une caractérisation pertinente de la relation de conséquences logique doit remplir:

  1. la relation doit dépendre de la structure forme logique (en) logical form d'après la formule en anglais de Bertand Russel), c'est-à-dire qu'elle ne doit pas dépendre du sens des termes mais doit rester valide si on remplace les mots par des variables ou par d'autres mots;
  2. elle doit être a priori et a postériori, c'est-à-dire qu'il est possible de déterminer sa validité sans recourir à des preuves empiriques ou intervenir ses sens ;
  3. elle doit avoir une composante modale [3].

vision formelle de la relation de déduction[modifier | modifier le code]

La vision la plus répandue sur la manière de capter en la relation de déduction et conséquence logique est de formaliser son problème, c'est-à-dire de le représenter dans un système formel non ambigu et adapté. De cette manière, dire qu'une affirmation ou un fait est une conséquence logique d'autres affirmations dépend de la structure, aussi appelée forme logique de l’affirmation, quelle que soit sa signification.

Les formalisations dites «syntaxiques» de la relation de déduction logique sont basées sur un ensemble de formules logiques, qui définissent l'univers mathématiques sur lequel on va travailler et d'un ensemble de règles d'inférences, qui dictent les types de déduction que nous souhaitons pouvoir effectuer. La forme logique (en) d'un argument valide pourrait par exemple « Tous les A sont B. Tous les C sont A. Par conséquent, tous les C sont B. » Cet argument est formellement valide puisque toute instanciation des arguments, c'est-à-dire le remplacement des variables A, B et C par des formules logique concrètes de l'univers, est valide.

La structure de l’argumentation n'est parfois pas suffisante pour en déterminer la validité, par exemple dans le raisonnement suivant « Fred est le frère du père de François. Il est donc le neuveu de Fred » utilise les notions frère, neveu, fils. La correction de ce raisonnement dépend de leur définition, que nous connaissons par expérience mais dons nous n'avons pas ici donné de définition précise. La relation de déduction, dans un système correctement formalisé, doit se suffire à elle-même et être vérifiables sans connaissances à priori. On passe ainsi, pour certains auteurs, d'une déduction dite matérielle à une déduction formelle[1].

Propriétés à priori de la relation[modifier | modifier le code]

Si nous somme sur que Q découle logiquement de P, l’interprétation que l'on fait de P et de Q n’a pas d'importance. No peut pas tre connaissance du fait que Q est une conséquence de P ne peut pas être contredite par nos connaissance empirique[1]. Les argumentation déductives valides peuvent être montrées valides sans recours à nos expériences, il est donc indispensables qu’elles soient valables à priori[1]. Le seul fait que les raisonnements soient présentés de manière formelle ne garantit cependant pas que la déduction soit effectuée sans à priori. Inversement un raisonnement sans à priori peut être présenté sans formalisme. Nous pouvond donc considérer formalisme et validité à priori indépendants l’un de l’autre[1].

Preuves et modèles[modifier | modifier le code]

Les deux techniques principales de définir la relation de déduction s'expriment en terme de preuves et via des modèles. L'étude d'une logique peut se faire soit en termes purement syntaxiques, c'est-à-dire sans chercher à donner un sens aux formules de cette logiques. On est alors dans le cadre d'une théorie des preuves de cette logique. L'autre approche est de donner un sens aux formules au moyen d'autres formalismes mathématique, on définit alors la théorie des modèles de la logique associée[4].

Déduction syntaxique[modifier | modifier le code]

Une formule A est une conséquence syntaxique[5][6][7][8] à l’intérieur d'un système formel \mathcal{FS} d'un ensemble de formules \Gamma si il existe une preuve formelle dans \mathcal{FS} de A à partir des formules de \Gamma.

\Gamma \vdash_{\mathcal {FS} } A

Ce type de conséquence se définit sans chercher à savoir ce que signifient les formules. Elle ne dépendent donc pas d'une interprètation du système formel FS[9].

Consequence sémantique[modifier | modifier le code]

Article connexe : Double turnstile.

tes La théorie des modèles donne une manière de donner un sens aux formules logiques. Elle lie les formules de la logique et un autre système formel, qu'on appelle un modèle. au moyen d'une interprêtation, qui peut par exemple faire correspondre les variables des formules la logique a des objets du système modèle. Une formule A est une consequence sémantique dans un système formel \mathcal{FS} d'un ensemble \Gamma

\Gamma \models_{\mathcal {FS} } A,

si et seulement si il n’existe pas de modèle \mathcal{I} dans lequel toutes les formules de \Gamma sont vraies et A soit faux[10]. En d'autre termes, si l’ensemble des interprétations qui rendent toutes les formules de \Gamma vraie est un sous ensemble des interprètation qui vérifient A.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d, e et f (en) Beall, JC and Restall, Greg, « Logical Consequence », sur http://plato.stanford.edu
    Article sur les conséquences logiques de The Stanford Encyclopedia of Philosophy
  2. Quine, Willard Van Orman, Philosophy of logic
  3. a et b (en) Matthew McKeon, « Logical Consequence », sur Internet Encyclopedia of Philosophy
  4. (en) Kosta Dosen, Logic and Scientific Methods: Volume One of the Tenth International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, Florence, August 1995, Springer,‎ 1996 (ISBN 978-0-7923-4383-7, lire en ligne), « Logical consequence: a turn in style », p. 292
  5. Dummett, Michael (1993)Frege: philosophy of language Harvard University Press, p.82ff
  6. Lear, Jonathan (1986)TN-&sig=wrOg75cFxQwn1Uq-8LShBNXf9w0&hl=en&ei=I-y7SpHtLZLotgOsnLHcBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=syntactic%20consequence&f=falseAristotle and Logical Theory Cambridge University Press, 136p.
  7. Creath, Richard, and Friedman, Michael (2007) The Cambridge companion to Carnap Cambridge University Press, 371p.
  8. FOLDOC: "syntactic consequence"
  9. Hunter, Geoffrey, Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Pres, 1971, p. 75.
  10. Etchemendy, John, Logical consequence, The Cambridge Dictionary of Philosophy

[[./Catégorie:Concepts in logic]]