Beauté mathématique

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La frontière de l'ensemble de Mandelbrot

Certains mathématiciens recherchent dans leur travail ou dans les mathématiques en général, un plaisir esthétique. Ils expriment ce plaisir en décrivant de « belles » parties des mathématiques.

Ils peuvent considérer les mathématiques comme un art ou comme une activité créative. Des comparaisons sont souvent faites avec la musique et la poésie.

Bertrand Russell a donné son sens de la beauté mathématique en ces termes : « Les mathématiques, considérées à leur juste mesure, possèdent non seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide et austère, comme celle d'une sculpture, sans référence à une partie de notre fragile nature, sans les effets d'illusion magnifiques de la peinture ou de la musique, pourtant pur et sublime, capable d'une perfection sévère telle que seulement les plus grands arts peuvent la montrer. L'esprit vrai du plaisir, l'exaltation, l'impression d'être plus qu'un homme, qui est la pierre de touche de l'excellence la plus élevée, doit être trouvé dans les mathématiques aussi sûrement que la poésie. »[1].

Paul Erdős évoqua le caractère ineffable de la beauté des mathématiques en déclarant « pourquoi les nombres sont-ils beaux ? Cela revient à se demander pourquoi la neuvième symphonie de Beethoven est belle. Si vous ne voyez pas pourquoi, personne ne pourra vous l'expliquer. Je sais que les nombres sont beaux. S'ils ne sont pas beaux, rien ne l'est » [2].

Dans les formules[modifier | modifier le code]

Une formule est considérée comme « belle » si elle apporte un résultat essentiel et surprenant par sa simplicité par rapport à la complexité apparente (donc en particulier une égalité dont un des membres est très simple alors que l'autre membre est très compliqué).

Un exemple de belle formule est celle de Leonhard Euler e^{i\pi} + 1 = 0, dont Euler lui-même disait qu'elle montrait la présence de la main de Dieu[3].

Dans le roman Enigma de Robert Harris, le mathématicien fictif Tom Jéricho qualifie de « cristalline » la beauté de la formule de Leibniz

\dfrac11-\dfrac13+\dfrac15-\dfrac17+\ldots+\dfrac{(-1)^k}{2k+1}+\ldots=\dfrac\pi4.

Dans les méthodes[modifier | modifier le code]

Les mathématiciens peuvent qualifier une méthode dans une démonstration d' « élégante » quand :

  • elle utilise peu de résultats préalables,
  • elle est exceptionnellement courte,
  • elle établit un résultat d'une façon surprenante (par exemple à partir de théorèmes qui ne sont apparemment pas en rapport avec celle-ci),
  • elle est basée sur des concepts originaux,
  • elle fait appel à une méthode qui peut être généralisée pour résoudre facilement une famille de problèmes semblables.

Dans la quête d'une démonstration élégante, les mathématiciens cherchent souvent différentes manières indépendantes d'établir un théorème ; la première démonstration trouvée peut ne pas être la meilleure. Le théorème pour lequel le plus grand nombre de démonstrations différentes a été trouvé est probablement le théorème de Pythagore puisque des centaines de preuves ont été publiées[4]. Un autre théorème qui a été démontré de beaucoup de façons est le théorème de réciprocité quadratique de Carl Friedrich Gauss dont de très nombreuses démonstrations différentes ont été publiées[5].

Inversement, des méthodes logiquement correctes mais qui impliquent des calculs laborieux, des méthodes trop nuancées, des approches très conventionnelles, ou qui s'appuient sur un grand nombre d'axiomes particulièrement puissants ou sur des résultats préalables eux-mêmes habituellement considérés comme peu élégants, peuvent être qualifiées de laides ou de maladroites. Ceci est lié au principe du rasoir d'Occam.

Exemple très simple[modifier | modifier le code]

Soit un train se déplaçant d'un point A à un point B à la vitesse de 10km/h.
La distance entre A et B est de 10km.
Soit une mouche qui part de B et qui fait des allers retours entre le point B et le train.
Cette mouche va à la vitesse constante de 60km/h (c'est une mouche très rapide.)
Elle fait constamment des allers retours entre le train et le point B et s'arrête dès que le train est arrivé.
On doit calculer quelle distance la mouche parcourt en tout.

Une première méthode non élégante consisterait à calculer les différents points où le train et la mouche se rencontrent, mettre cette distance sous la forme d'une suite, puis faire une somme infinie des termes de cette suite (lorsque le train va se rapprocher de l'arrivée, la mouche va rebondir très très vite, les points de rencontre vont tendre vers l'infini) et on obtient après de très longs calculs la réponse.

Une autre méthode dite élégante serait de constater que la mouche va s'arrêter en même temps que le train, c'est-à-dire au bout d'une heure, donc qu'elle aura parcouru exactement 60km.

Ce problème est classiquement posé dans l'unique but de tester l'aptitude d'un élève à choisir la méthode la plus simple.

Dans les théorèmes[modifier | modifier le code]

Les mathématiciens voient la beauté dans les théorèmes mathématiques qui permettent de faire le lien entre deux domaines des mathématiques qui semblent à première vue totalement indépendants[6]. Ces résultats sont souvent considérés comme « profonds ».

Certains exemples sont souvent cités dans la littérature scientifique. C'est le cas par exemple de l'identité d'Euler e^{i\pi}+1=0. Les exemples modernes incluent le théorème de Taniyama-Shimura qui établit un lien important entre les courbes elliptiques et les formes modulaires (travail pour lequel ses auteurs Andrew Wiles et Robert Langlands reçurent le prix Wolf), et la « Conjecture Monstrous Moonshine » qui établit un lien entre le groupe Monstre et les fonctions modulaires par l'intermédiaire de la théorie des cordes pour laquelle Richard Borcherds se vit décerner la médaille Fields.

A contrario, un théorème trivial peut être une proposition qui se déduit de manière évidente et immédiate d'autres théorèmes connus, ou qui ne s'applique qu'à un ensemble spécifique d'objets particuliers. Cependant, il arrive qu'un théorème soit suffisamment original pour être considéré comme profond, bien que sa démonstration soit assez évidente. Ainsi la beauté d'une démonstration peut résider dans le hiatus entre sa simplicité et l'apparente difficulté du problème, fût-il trivial[7].

La beauté dans l'expérience[modifier | modifier le code]

Un certain plaisir dans la manipulation des nombres et des symboles est probablement requis pour s'engager dans les mathématiques. Étant donné l'utilité des mathématiques dans les sciences et la technologie, il est probable que toute société technologique cultive activement ses besoins d'esthétique.

Bertrand Russell (cité en introduction) évoqua la beauté austère des mathématiques[1].

La beauté et la philosophie[modifier | modifier le code]

Certains mathématiciens s'accordent à dire que faire des mathématiques est plus proche de la découverte que de l'invention[8]. Ils estiment que les théorèmes détaillés et précis des mathématiques peuvent être raisonnablement considérés comme vrais indépendamment de l'univers dans lequel nous vivons. Par exemple, certains prétendent que la théorie des nombres entiers naturels est fondamentalement valable, d'une manière qui n'exige aucun contexte spécifique. Des mathématiciens ont extrapolé ce point de vue en considérant la beauté mathématique comme une vérité, se rapprochant dans certains cas du mysticisme. Pythagore et toute son école philosophique croyaient en la réalité littérale des nombres (voir l'article École pythagoricienne). La découverte de l'existence de nombres irrationnels provoqua un grand désarroi au sein de l'école; ils considérèrent l'existence de ces nombres non exprimables comme rapport de deux entiers naturels, comme une poussière dans l'univers. Dans la perspective moderne, la vision mystique des nombres par Pythagore serait celle d'un numérologiste plutôt que celle d'un mathématicien[9].

Dans la philosophie de Platon il y a deux mondes, le monde physique dans lequel nous vivons et un monde abstrait différent qui contient la vérité invariable, y compris celle des mathématiques (voir l'article Platonisme mathématique). Il pensait que le monde physique était un reflet dégradé d'un monde abstrait parfait.

Galilée affirmait que « La mathématique est l'alphabet dans lequel Dieu a écrit l'univers »[10] et « le livre de la nature est écrit en langage mathématique »[11].

Le mathématicien hongrois Paul Erdős, bien qu'athée, parla d'un livre imaginaire, dans lequel Dieu nota toutes les plus belles démonstrations mathématiques. Quand Erdős voulait exprimer sa satisfaction particulière d'une démonstration, il s'exclamait « Celle-ci vient du Livre ! »[12]. Ce point de vue exprime l'idée que les mathématiques, étant la base intrinsèquement vraie sur laquelle sont établies les lois de notre univers, sont un candidat naturel pour ce qui a été personnifié sous le nom de Dieu par différents mystiques religieux[13].

Le philosophe français du vingtième siècle Alain Badiou affirme que l'ontologie est la mathématique[14]. Badiou croit également en des liens profonds entre les mathématiques, la poésie et la philosophie.

Dans certains cas, les philosophes et les scientifiques qui ont beaucoup utilisé les mathématiques établirent des liens entre la beauté et la vérité physique de manières qui se sont avérées fausses. Par exemple, à une étape dans sa vie, Johannes Kepler crut que les proportions des orbites des planètes connues jusqu'alors dans le système solaire avaient été arrangées par Dieu pour les faire correspondre à un arrangement concentrique des cinq solides platoniciens, chaque solide étant inscrit dans l'orbe d'une planète et circonscrit à l'orbe de la planète immédiatement inférieure[15]. Comme il y a exactement cinq solides platoniciens, la théorie de Kepler ne pourrait seulement s'appliquer qu'à six orbites planétaires, et fut réfutée ultérieurement par la découverte d'Uranus. James Watson fit une erreur semblable quand il postula que chacune des quatre bases azotées de l'ADN est reliée à une base du même type se trouvant à l'opposé (thymine reliée à la thymine, etc.) en se basant sur la croyance que « ce qui est beau doit être vrai »[16].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mathematical beauty » (voir la liste des auteurs)

  1. a et b (en) B. Russell, Mysticism and Logic and Other Essays, Londres, Longmans, Green,‎ 1918, chap. 4, (« The Study of Mathematics »)
  2. Paul Hoffman (en), Erdős, l'homme qui n'aimait que les nombres (en), Éditions Belin, 2000 (ISBN 2-7011-2539-1), traduit de : (en) The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion, 1992
  3. Euler (1707-1783), éd. Kangourou, [présentation en ligne]
  4. 365 démonstrations figurent dans (en) Elisha Scott Loomis, The Pythagorean Proposition, The National Council of Teachers of Mathematics, 2e éd., 1968 (ISBN 978-0-87353036-1) (1e éd. 1940).
  5. (en) Franz Lemmermeyer (de), Proofs of the Quadratic Reciprocity Law rassemble des citations de la littérature pour 196 différentes démonstrations.
  6. (en) Gian-Carlo Rota, « The phenomenology of mathematical beauty », Synthese, vol. 111, no 2,‎ 1977, p. 171–182 (DOI 10.1023/A:1004930722234)
  7. Dans des exemples très simples Martin Gardner a illustré cela dans son ouvrage « Haha » ou l'éclair de la compréhension mathématique.
  8. Par exemple : There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture – that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within., extrait de (en) William Kingdon Clifford, Some of the conditions of mental development.
  9. Cf par exemple Nicole Delongchamp, Le miroir des nombres: numérologie pratique, Fernand Lanore, 1990 (ISBN 978-2-85157099-4), p. 13
  10. Cité dans (en) Margaret L. Lial, Charles David Miller et E. John Hornsby, Beginning Algebra, 1992, p. 2
  11. Plus précisément : « La philosophie est écrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux (je veux dire l’Univers), et on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Or il est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont les triangles, les cercles et autres figures géométriques, sans lesquelles il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot, sans lesquelles on erre vraiment dans un labyrinthe obscur. » (L'essayeur de Galilée, Christiane Chauviré, p. 141)
  12. Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer-Verlag, 2006 (ISBN 978-2-287-33845-8)
  13. (en) John Francis, Philosophy Of Mathematics, Global Vision Publishing Ho, 2008 (ISBN 978-8-18220267-2), p. 51
  14. Voir par exemple Fabien Tarby, La philosophie d'Alain Badiou, L'Harmattan, 2005 (ISBN 978-2-74759638-1), p. 25
  15. J. Kepler, Mysterium Cosmographicum (en)
  16. Hegel, Esthétique, 1e partie

Bibliographie[modifier | modifier le code]

traduit de (en) Psychology of Invention in the Mathematical Field, Princeton University Press, 1945, réimpr. Dover, 1954, 1990, 2003 (ISBN 978-0-486-20107-8)
traduit de (en) A Mathematician's Apology, Cambridge University Press, 1940, rééd. 1967 (préface de C.P. Snow), réimpr. 1992
  • H. E. Huntley, La divine proportion : essai sur la beauté mathématique, Navarin, 1986 (ISBN 978-2-86827041-2)
traduit de (en) The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, New York, Dover, 1970 (ISBN 978-0-48622254-7)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]