Formule de Leibniz

Pour les articles homonymes, voir Règle de Leibniz.

En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d'après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz :

• En analyse réelle, la formule de Leibniz est la formule donnant les dérivées successives d'un produit de fonctions réelles d'une variable réelle. La formule de Leibniz désigne aussi une formule plus générale du calcul différentiel donnant la différentielle du produit de deux fonctions différentiables à valeurs dans une algèbre normée.
• Par extension, la formule de Leibniz, aussi appelée identité de Leibniz, désigne une identité qui définit la notion de dérivation, à savoir: $d(ab) = d(a) b + a d(b)$.
• En algèbre linéaire, la formule de Leibniz fournit une définition du déterminant d'une matrice comme une somme alternée sur ses serpents.
• Enfin, la formule de Leibniz désigne aussi la somme de la série alternée des inverses des entiers impairs.

Dérivée d'un produit

Soit $n$ un entier positif. Le produit de deux fonctions d'une variable réelle $f$ et $g$ définies et dérivables jusqu'à l'ordre $n$ sur un intervalle $I$ est dérivable jusqu'à l'ordre $n$. La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre $n$ donnée par :

$(f g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom nk\ f^{(k)}\ g^{(n-k)}$

où les nombres entiers $\tbinom nk$ sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de f, notée $f^{(0)}$, est la fonction f elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur l'entier $n$. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs en être déduite.

Une démonstration est proposée dans l'article détaillé « Règle du produit ».

Série alternée

La formule de Leibniz est un exemple de série alternée :

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots=\frac\pi4.$

Elle a été découverte en Occident au XVII^e , mais apparaît déjà chez Madhava, mathématicien indien de la province du Kerala, vers 1400. Les travaux mathématiques indiens de cette période ne seront connus en Occident qu'à la fin du XIX^e siècle, pendant la colonisation de l'Inde par la Grande-Bretagne.

C'est simplement le développement de Taylor en 0 de la fonction arctan, évalué au point 1.

Déterminant d'une matrice carrée

Le déterminant d'une matrice carrée $A=(a_{ij})$ d’ordre $n$ est le nombre noté $\det(A)$ égal à :

$\det(A)=\sum_{\sigma \in S_n}\varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$

où $S_n$ est le groupe des permutations de $\{1,2,...,n\}$ et pour une permutation σ de $S_n$, ε(σ) désigne sa signature, égale à 1 si la permutation est paire et -1 sinon.