Plan complexe

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En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss[1]) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.

Le complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.

Définition[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaire

On associe en général le plan complexe à un repère \scriptstyle(O,\vec u,\vec v) orthonormé direct. Dans un tel repère, tout point M est l'image d'un unique nombre complexe z qui est appelé affixe de cet unique point (dans ce cas, affixe est féminin : une affixe) : on note M(z).

Pour tout nombre complexe z tel que z = a + ib (où a et b sont des réels), on a la relation

\overrightarrow{OM}=a\vec u+b\vec v.

On peut ainsi dire que la partie réelle de z est l'abscisse de M et que la partie imaginaire de z en est son ordonnée.

D'après cette égalité, tous les points de l'axe \scriptstyle(O,\vec u) sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel. En conséquence, on appelle l'axe \scriptstyle(O,\vec u) axe des réels.

De la même façon, tous les points de l'axe \scriptstyle(O,\vec v) sont tels que la partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe \scriptstyle(O,\vec v) axe des imaginaires.

(a,b) sont les coordonnées cartésiennes de z = a+ib dans le plan complexe. On peut aussi écrire z avec des coordonnées polaires (r,θ), ce qui correspond à l'écriture exponentielle z = r·exp(iθ). Dans ce cas, r est le module du nombre et θ est un de ses arguments (modulo 2\pi).

Transformations du plan[modifier | modifier le code]

La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur donné correspond à l'addition de son affixe.

Une rotation d'un angle θ autour de l'origine correspond à la multiplication de l'affixe par le nombre ei θ, qui est un nombre complexe de module 1.

Une homothétie de rapport k (réel) et de centre l'origine du plan correspond à la multiplication de l'affixe par k.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

  • Jean-Robert Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 1806, en ligne et commenté sur le site Bibnum