Tétracontagone

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Un tétracontagone est un polygone à 40 sommets, donc 40 côtés et 740 diagonales.

La somme des angles internes d'un tétracontagone non croisé vaut 6 840 degrés.

Le tétracontagone régulier est constructible.

Tétracontagones réguliers[modifier | modifier le code]

Un tétracontagone régulier est un tétracontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a huit : sept étoilés (notés {40/k} pour k impair de 3 à 19 sauf 5 et 15) et un convexe (noté {40}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le tétracontagone régulier ».

Caractéristiques du tétracontagone régulier[modifier | modifier le code]

Chacun des 40 angles au centre mesure 360°/40 = 9° et chaque angle interne mesure 6 840°/40 = 171°.

Si a est la longueur d'une arête :

  • le périmètre vaut P = 40 a ;
  • l'aire vaut A = 10 a2 cot(π/40) ;
  • l'apothème vaut H = 2A/P = (a/2) cot(π/40) ;
  • le rayon vaut

Constructibilité[modifier | modifier le code]

Le tétracontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection de l'icosagone. On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 40 est le produit de 8 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).