Médiatrice

La médiatrice du segment $[A,B]$ (en rouge), passant par son milieu $M$.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants à ses deux extrémités. Cet ensemble forme l'unique droite passant par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire.

Définition et caractérisations

Le cadre de la géométrie affine permet de donner une définition rigoureuse de la notion de segment. La notion d'espace affine euclidien permet ensuite de parler de distance euclidienne, puis de médiatrice.

Définition — Soit $A$ et $B$ deux points du plan. La médiatrice du segment $[A,B]$ est l'ensemble des points $C$ du plan tels que les distances $AC$ et $BC$ sont égales.

En outre, la médiatrice d'un segment $[A,B]$ de milieu $M$ forme la droite perpendiculaire à $[A,B]$ et passant par $M$. Autrement dit, un point $C$ appartient à la médiatrice du segment $[A,B]$ si et seulement si les droites $(A,B)$ et $(M,C)$ sont orthogonales

Propriétés

• La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment. Dans un rectangle, les médiatrices des côtés sont également des axes de symétries du rectangle.
• Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point, qui est le centre du cercle circonscrit de ce triangle.
• Dans un triangle $ABC$ isocèle en $C$, la bissectrice intérieure issue du sommet $C$ coïncide avec la médiatrice du segment opposé $[A,B]$.
• La médiatrice d'un segment $[A,B]$ divise le plan en deux demi-plans : celui des points plus proches de $A$ que de $B$ et celui des points plus proches de $B$ que de $A$. Ainsi, les frontières d'un diagramme de Voronoï sont des segments de médiatrices.
• La notion de distance de Hausdorff en géométrie élémentaire peut être illustrée par ces deux demi-plans. Soit $[A,B]$ un segment et $C$ un point. Selon que $C$ appartient au demi-plan des points plus proches de $A$ que de $B$, ou à celui des points plus proches de $B$ que de $A$, alors $\mathrm {dist} _{H}(C,[A,B])$ vaut $CB$ ou $CA$.

Constructions géométriques

Construction à la règle graduée et à l'équerre

La médiatrice d'un segment est constructible à la règle graduée et à l'équerre. Soit $A$ et $B$ deux points du plan. À l'aide de la règle graduée, on mesure la longueur du segment $[A,B]$. On met alors une marque à la moitié de sa longueur, soit à son milieu $M$. Avec l'équerre, on trace la perpendiculaire au segment $[A,B]$ passant par $M$.

Construction à la règle et au compas

Illustration de la construction d'une médiatrice à la règle non graduée et au compas.

Dans ses commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide, Proclus attribue à Œnopide de Chios la première construction à la règle et au compas de la médiatrice d'un segment, sans toutefois communiquer sa méthode^{[réf. nécessaire]}. Euclide s'intéresse à ce problème et le résout dans la douzième proposition de ses Éléments.

Proposition — Soit $A$ et $B$ deux points du plan. La médiatrice au segment $[A,B]$ est constructible à la règle et au compas.

Démonstration — On règle d'abord le compas à un rayon quelconque, supérieur à la moitié de la longueur $AB$. Avec cet écartement de compas, on trace un cercle centré sur $A$, puis un cercle de même rayon centré sur $B$. Ces deux cercles se coupent en deux points $C$ et $D$. On trace enfin la droite $(C,D)$, qui est alors la médiatrice du segment $[A,B]$.

En effet, puisque les rayons du cercle centré en $A$ est égal à celui du cercle centré en $B$, les longueurs $CA$ et $CB$ sont égales. Il en va de même pour les longueurs $DA$ et $DB$. Les points $C$ et $D$ sont donc deux points distincts de la médiatrice. La droite passant par $C$ et $D$ est ainsi nécessairement la médiatrice du segment $[A,B]$.

Constructions géométriques analogues

Une construction analogue permet, étant donné une droite quelconque ${\mathcal {D}}$ et un point $A$ quelconque du plan, de tracer la perpendiculaire à ${\mathcal {D}}$ passant par $A$. Ceci permet ensuite de démontrer qu'étant donné un repère orthonormé, un nombre réel $t$ est constructible si et seulement si le point de coordonnées $(t,0)$ est constructible à la règle et au compas, par projection orthogonale.

Le fait que, dans un triangle $ABC$ isocèle en $C$, la bissectrice intérieure issue du sommet $C$ coïncide avec la médiatrice du segment opposé $[A,B]$, permet également de construire la bissectrice d'un angle à la règle et au compas.

• 
  Construction de la perpendiculaire à une droite $(A,B)$ passant par un point $P$ donné.
• 
  Illustration de la construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle.

Bibliographie

• Claude Delode, Géométrie affine et euclidienne : Cours et exercices corrigés, Dunod, octobre 2006 (ISBN 978-2-100-50587-6)
• Jean-Claude Carrega, Théorie des corps : La règle et le compas, Hermann, coll. « Philosophie, Politique et Économie - Sciences et Technique », 24 octobre 2001 (ISBN 978-2-705-61449-2)

Voir aussi

Articles connexes

• Milieu d'un segment
• Éléments remarquables d'un triangle
• Plan médiateur, notion analogue en géométrie dans l'espace
• Cercle circonscrit

Liens externes

Vocabulaire de base de la géométrie