Radian

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Radian
Définition de l'angle en radians.
Définition de l'angle en radians.
Informations
Système Unités dérivées du système international
Unité de... Angle plan
Symbole rad

Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du système international qui mesure les angles plans.

Définition[modifier | modifier le code]

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π radians, appelé angle plein.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens. De ce fait, le calcul des fonctions trigonométriques par une série de Taylor suppose l'expression des angles en radians.

Petits angles[modifier | modifier le code]

Pour les petits angles exprimés en radians, sin x ≈ tan xx.

  • Pour un angle de valeur inférieure à 0,17 radian l'erreur est de moins de 1 % ;
  • Pour un angle de valeur inférieure à 0,05 radian l'erreur est de moins de 0,1 % (TVF, p. 39).

Il n'y a aucune formule de ce genre avec les valeurs en grades et degrés.

Dans le domaine de la topographie, où on traite d'angles faibles, on utilise le mil angulaire, une unité pratique, définie comme l'angle qu'intercepte une longueur de 1 mm à une distance de 1 m. Elle sert, par exemple, à déterminer la distance d'une mire de hauteur connue par la mesure de sa taille apparente. Dans les conditions où elle sert, cette unité s'identifie avec un milliradian.

Relations entre grades, degrés et radians[modifier | modifier le code]

Un tour complet équivaut à 2π radians, 360 degrés, 400 grades.

Par conséquent,

  • Un radian vaut environ 57,3° ou 57° 18' (360°÷2π) ;
  • un degré vaut approximativement 17,5 milliradians.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot {180 \over \pi}
.
\theta_{rad} = \theta_{deg} \cdot {\pi \over 180}.

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

\theta_{gra} = \theta_{rad} \cdot {200 \over \pi}
.
\theta_{rad} = \theta_{gra} \cdot {\pi \over 200}.

Voici quelques angles particuliers et leur équivalence avec les grades et degrés :

nom de l'angle valeur en radians valeur en grades valeur en degrés
angle nul 0 rad 0 gon
milliradian 0,001 0,063 661 977 gon 0° 3′ 26″ 16‴ soit 0,0573°
π/6 rad 33,333 333 gon 30°
π/4 rad 50 gon 45°
radian 1 rad 63,661 977 gon 57° 17′ 44″ 48‴
π/3 rad 66,666 666 gon 60°
angle droit π/2 rad 100 gon 90°
2π/3 rad 133,333 333 gon 120°
3π/4 rad 150 gon 135°
angle plat π rad 200 gon 180°
5π/4 rad 250 gon 225°
3π/2 rad 300 gon 270°
7π/4 rad 350 gon 315°
angle plein 2π rad 400 gon 360°

Un angle de 57,3° intercepte un arc de longueur égale au rayon. Avec une circonférence de 360 cm, un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon = 57,3 cm.

Pour les angles â inférieurs à 3°, utiles pour l'astronomie, on peut confondre la longueur de l'arc intercepté par l'angle â avec le côté opposé à l'angle â. Ainsi, un angle de 1 degré intercepte un arc de 1 cm sur un cercle de 3,6 m de circonférence[réf. souhaitée].

\theta_{rad} \approx \ {1 \over 57{,}3}

De façon générale, pour les angles inférieurs à 3° :

\tan( \theta_{deg}) \approx {\theta_{deg} \over 57{,}3}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck,‎ , p. 569 « Radian »

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]