Liste des groupes de symétrie du plan
Cet article recense les groupes de symétrie du plan euclidien.
Généralités[modifier | modifier le code]
Les classes considérées sont celles des groupes de symétrie discrets sur le plan euclidien. Il en existe trois sortes :
- 2 familles de groupes ponctuels de symétrie ;
- 7 groupes de frise ;
- 17 groupes de papier peint.
Ces groupes sont nommés suivant trois nomenclatures : la notation internationale, la notation orbifold et la notation de Coxeter (en).
Liste[modifier | modifier le code]
Groupes ponctuels[modifier | modifier le code]
Il existe deux familles de groupes ponctuels discrets bidimensionnels et elles sont spécifiées par le paramètre n, qui est l'ordre du groupe de rotations dans le groupe.
| Famille | Intl. (Orbifold) |
Geo [[1]] Coxeter |
Schönflies | Ordre | Exemples | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Groupes cycliques | n n• |
n [n]+   
|
Cn | n |  [ ]+ |
 [2]+ (*) |
 [3]+ |
 [4]+ |
 [5]+ |
[6]+ |
| Groupes diédraux | nm *n• |
n [n]
|
Dn | 2n |  [ ] |
.png) [2] |
 [3] |
 [4] |
 [5] |
 [6] |
Groupes de frise[modifier | modifier le code]
| UIC (Orbifold) |
Geo | Schönflies | Coxeter | Domaine fondamental |
Exemple |
|---|---|---|---|---|---|
| p1 (∞•) |
p1 | C∞ | [∞]+
|
|
|
| p1m1 (*∞•) |
p1 | C∞v | [∞]
|
|
|
| p11g (∞×) |
p.g1 | S2∞ | [2+,∞+]
|
|
|
| p11m (∞*) |
p. 1 | C∞h | [2,∞+]
|
|
|
| p2 (22∞) |
p2 | D∞ | [2,∞]+  
|
|
|
| p2mg (2*∞) |
p2g | D∞d | [2+,∞]
|
|
|
| p2mm (*22∞) |
p2 | D∞h | [2,∞]
|
|
|
Groupes de papier-peint[modifier | modifier le code]
| UIC (Orbifold) Géometrique |
Coxeter | Réseau | Groupe ponctuel |
Domaine fondamental |
Exemple |
|---|---|---|---|---|---|
| p1 (°) p1 |
[∞+,2,∞+] | Oblique | C1 | 
|
|
| p2 (2222) p2 |
[∞,2,∞]+ | Oblique | C2 | 
|
|
| pm (**) p1 |
[∞+,2,∞]
|
Rectangulaire | D1 | 
|
|
| pg (××) pg1 |
[∞+,(2,∞)+] 
|
Rectangulaire | D1 | 
|
|
| cm (*×) c1 |
[∞+,2+,∞]
|
Losange | D1 | 
|
|
| pmm (*2222) p2 |
[∞,2,∞]
|
Rectangulaire | D2 | 
|
|
| pmg (22*) pg2 |
[(∞,2)+,∞]
|
Rectangulaire | D2 | 
|
|
| pgg (22×) pg2g |
[[∞,2,∞]+] | Rectangulaire | D2 | 
|
|
| cmm (2*22) c2 |
[∞,2+,∞]
|
Losange | D2 | 
|
|
| p4 (442) p4 |
[4,4]+ 
|
Carré | C4 | 
|
|
| p4m (*442) p4 |
[4,4]
|
Carré | D4 | 
|
|
| p4g (4*2) pg4 |
[4+,4]
|
Carré | D4 | 
|
|
| p3 (333) p3 |
[1+,6,3+]   [3[3]]+ |
Hexagonal | C3 | 
|
|
| p3m1 (*333) p3 |
[1+,6,3] [3[3]]  
|
Hexagonal | D3 | 
|
|
| p31m (3*3) h3 |
[6,3+] [3+[3[3]]] |
Hexagonal | D3 | 
|
|
| p6 (632) p6 |
[6,3]+  [3[3[3]]]+ |
Hexagonal | C6 | 
|
|
| p6m (*632) p6 |
[6,3] [3[3[3]]] |
Hexagonal | D6 | 
|
|
Annexes[modifier | modifier le code]
Liens externes[modifier | modifier le code]
- (en) Peter Doyle, « A field guide to the orbifolds », The Geometry Center
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- (en) John Horton Conway, Heidi Burgiel et Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A K Peters, , 426 p. (ISBN 978-1-56881-220-5)
- (en) John Horton Conway et Derek A. Smith, On Quaternions and Octonions, A K Peters, , 160 p. (ISBN 978-1-56881-134-5)
- (en) F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson et Asia Ivic Weiss, Kaleidoscopes : Selected Writings of H.S.M. Coxeter, Wiley-Interscience, , 439 p. (ISBN 978-0-471-01003-6, lire en ligne)
- (en) Harold Scott MacDonald Coxeter, « Regular and Semi Regular Polytopes I », Mathematische Zeitschrift, vol. 46, no 1, , p. 380-407 (DOI 10.1007/BF01181449)
- (en) Harold Scott MacDonald Coxeter, « Regular and Semi Regular Polytopes II », Mathematische Zeitschrift, vol. 188, no 4, , p. 559-591 (DOI 10.1007/BF01161657)
- (en) Harold Scott MacDonald Coxeter, « Regular and Semi Regular Polytopes III », Mathematische Zeitschrift, vol. 200, no 1, , p. 3-45 (DOI 10.1007/BF01161745)
- (en) David Hestenes et Jeremy Holt, « The Crystallographic Space groups in Geometric algebra », Journal of Mathematical Physics, vol. 48, no 2, (DOI 10.1063/1.2426416)
