Segment (mathématiques)

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En géométrie, un segment est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment. Un segment reliant deux points A et B est noté [A,B][1] ou [AB][2] et représente la partie de la droite (AB) qui se situe « entre » les points A et B. Intuitivement, un segment correspond à un fil tendu entre deux points, en négligeant l'épaisseur du fil.

Formalisation dans le cadre de la géométrie affine[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de la géométrie affine sur le corps des nombres réels, le segment [A,B] peut recevoir une définition précise[3] :

Définition — Le segment [A,B] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls de A et B.

Dans cette définition, on suppose que A et B sont éléments d'un même espace affine (de dimension finie ou infinie, et qui peut être d'ailleurs un espace vectoriel) sur le corps \R des nombres réels.

Le barycentre ne changeant pas lorsque tous les coefficients sont multipliés par une même constante non nulle, on déduit immédiatement de cette remarque l'énoncé suivant[4] :

Proposition — Le segment [A,B] est aussi l'ensemble des barycentres de A muni du poids 1-t et B muni du poids tt parcourt [0,1].

Lorsque l'on travaille dans un espace vectoriel, cette remarque fournit une description utile du segment [A,B], à savoir :

 [A,B]=\{ \ (1-t) \ A + t \ B \ \mid \ t \in \left[ 0 , 1 \right] \ \}.

Si l'espace affine est topologique et séparé (au sens de Hausdorff), alors un segment est compact, comme image du compact [0,1]~ par l'application continue t\mapsto (1-t)A+tB.

On pourrait inverser les bornes des segments ; ainsi il est tout à fait licite d'écrire par exemple [B,A] pour [A,B]. Cependant, il y a une ambiguïté dans le cas r\'eel : si les segments [1,2] et [2,1] sont égaux au sens affine, ils ne le sont pas au sens de l'ordre (cf.infra).

Segments en géométrie euclidienne[modifier | modifier le code]

En géométrie euclidienne, le segment est placé dans un espace euclidien E — ce peut être notamment un plan ou l'espace à trois dimensions muni de la distance familière entre points.

Soit A et B points quelconques de E. Le segment [A,B] est alors l'ensemble des points où l'inégalité triangulaire devient une égalité, ce qu'on peut écrire[5] :

Proposition — Dans un espace euclidien E, [A,B]=\{ M\in E\,\mid\,AM + MB = AB \}.

Segments en géométrie hyperbolique[modifier | modifier le code]

En géométrie hyperbolique, on peut de la même façon disposer du même concept intuitif de « segment » entre A et B représentant la portion de la droite hyperbolique (AB) située « entre » ces deux points, situé dans le plan hyperbolique (ou d'ailleurs dans un espace hyperbolique de n'importe quelle dimension).

En revanche, au moment d'écrire une définition plus précise, on ne dispose pas d'une notion similaire aux barycentres, et on est contraint de choisir une autre voie. Il existe bien sûr plusieurs manières de le faire, selon qu'on ait choisi de privilégier la structure topologique de l'espace hyperbolique, ou sa structure d'espace métrique, ou le concept de géodésique. En voici une[6] :

Définition — Dans un espace hyperbolique, et pour A\not= B deux points de cet espace, le segment [A,B] s'obtient en adjoignant A et B à celle des composantes connexes de (AB)\setminus\{A,B\} qui est relativement compacte dans l'espace hyperbolique.

La caractérisation métrique donnée ci-dessus en géométrie euclidienne est également valide en géométrie hyperbolique[7].

Segments dans le contexte des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Dans un ensemble totalement ordonné, le mot segment peut être utilisé comme synonyme d'intervalle délimité par deux points (au sens large).[réf. nécessaire]

Lorsqu'on l'applique à l'ensemble \R des réels, cette définition est équivalente à la définition au moyen de barycentres.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Marc Troyanov, Cours de géométrie, PPUR, coll. « Polycopiés de l'EPFL »,‎ (ISBN 978-2-88074-817-3, lire en ligne), p. 5.
  2. Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie : préparation au Capes et à l'agrégation, Publibook,‎ (ISBN 978-2-74830556-2, lire en ligne), p. 41.
  3. Claude Delode, dans Géométrie affine et euclidienne, Dunod, 2002, (ISBN 2100046438), p. 7 utilise précisément cette définition.
  4. Claude Delode, op. cit. énonce cette proposition comme définition alternative, p. 223.
  5. Cet énoncé est par exemple disponible sur le site Homeomath (pour le plan euclidien familier).
  6. C'est celle choisie par (en) Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups, Springer-Verlag, coll. « GTM » (no 91),‎ (1re éd. 1983) (ISBN 978-1-46121146-4, lire en ligne), p. 135 (elle y est donnée dans le contexte de la géométrie plane).
  7. C'est le théorème 7.3.2 de Beardon 2012, p. 135.