Point fixe

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En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.

Exemples :

  • dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ;
  • l’application inverse (définie sur l’ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : -1 et 1, car \frac{1}{-1}=-1 et \frac{1}{1}=1.
Une fonction avec 3 points fixes

Graphiquement, les points fixes d’une fonction f (où la variable est réelle) s’obtiennent en traçant la droite d’équation y = x : tous les points d’intersection de la courbe représentative de f avec cette droite sont alors les points fixes de f.

Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x \mapsto x+1 n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel x égal à x+1.

Point fixe et suites récurrentes[modifier | modifier le code]

On considère la fonction continue f: E \rightarrow E et (un) la suite récurrente définie par sa valeur initiale u0 et par la relation de récurrence un+1=f(un). Dans ce cas, si (un) converge, elle le fait nécessairement vers un point fixe de f.

Une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.

Point fixe attractif[modifier | modifier le code]

Un point fixe attractif d’une application f est un point fixe x0 de f tel qu’il existe un voisinage de x_0 sur lequel la suite de nombre réels

x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\ \dots

converge vers x_0.

Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe, qui est attractif.

Cependant, tous les points fixes d’une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle x \mapsto x^2+x possède un unique point fixe en 0, qui n’est pas attractif.

Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d’attracteur.

Théorèmes du point fixe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorèmes de point fixe.

Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu’une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :

Théorème du point fixe de Banach — Soient E un espace métrique complet et f : EE une application contractante (c’est-à-dire k-lipschitzienne pour un certain k < 1). Alors f possède un unique point fixe. De plus, ce point fixe est attractif.

Plus précisément, ce théorème assure que toute suite de la forme u_{n+1}=f(u_n) converge vers ce point fixe l et que d(u_n,l) \le k^nd(u_0,l), ce qui majore la vitesse de convergence de la suite.

Utilisation en automatique[modifier | modifier le code]

En automatique, un système de régulation contrôle une valeur ou propriété de telle façon qu'elle tende à converger vers un point fixe nommé consigne, défini par l’opérateur ou une autre partie du système. On parle ainsi par exemple de régulation de position, régulation de température, régulation de vitesse

Article connexe[modifier | modifier le code]