Hendécagone

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un hendécagone régulier

Un hendécagone ou undécagone est un polygone de 11 sommets et côtés. Un tel polygone possède 44 diagonales. La somme de ses 11 angles vaut 1620°. Le nombre 11 est premier mais n'est pas un nombre de Fermat, il est impossible de construire à la règle et au compas un hendécagone régulier.

Aire d'un hendécagone régulier[modifier | modifier le code]

L'aire d'un hendécagone régulier vaut  A = \frac{11 \times a^2}{4} \times \operatorname{cot}\left ( \frac{\pi}{11} \right ), a étant un des 11 côtés de l'hendécagone.

Construction approchée du hendécagone régulier[modifier | modifier le code]

construction d'un hendecagone régulier
hendecagone régulier inscrit

Il est impossible d'obtenir une construction exacte à la règle et au compas du hendécagone régulier (c'est le théorème de Gauss-Wantzel). En s'inspirant de la construction de l'enneagone[1], on peut tracer une construction approchée d'un hendécagone régulier, à la règle et au compas, selon la méthode identique à celle donnée pour l'heptagone et le pentagone.

Tracer le cercle de centre O de rayon OX, avec un angle AÔB = 120°.
Tracer l'arc de cercle de rayon XY et de centre X
Tracer l'arc de cercle de rayon YX et de centre Y
Ces arcs se coupent en U
Tracer les droites (UA) et (UB). Elles coupent le diamètre (XY) en C et D
À partir de C, sur une droite quelconque, porter avec un compas onze segments égaux CE = EF = FG = ...etc. Le troisième point sera noté G, le sixième sera noté H, le neuvième I, le onzième K.
Tracer la droite (KD) et mener par G une parallèle à celle-ci GG’(au moyen de la règle et du compas), qui coupe (XY) en G’. Éventuellement tracez la parallèle à (KD) passant par J qui coupe (XY) en J’.
Tracer la droite (UG').Elle coupe le cercle en G’’.
Reportez au compas tout le long du cercle la longueur AG’’, on trouve alors les onze sommets du hendécagone régulier inscrit dans le cercle.

Par cette construction, l'angle au centre AOG’’est d'environ 32,49 degré au lieu des 32,73 degré (environ) attendu, soit une erreur relative de 7 pour mille. Cela correspond sur l'ensemble de la figure, à une erreur de près de 2 degrés.

Cette méthode permet de faire n'importe quel polygone régulier. Il suffit de sectionner le segment CD en autant de secteurs identiques qu'il y a de côtés souhaités pour le polygone. Ensuite, on prend le troisième point en partant de C (G’), on trace le segment qui le relie à U et on obtient G’’ à l'intersection entre le cercle et ce segment (dans le demi-plan inférieur à XY). L'erreur commise sur l'angle au centre pour cette méthode varie de 1,98 pour mille à 11,7 pour mille selon le nombre de côtés.

Liens externes[modifier | modifier le code]

Autre construction approché

Notes et références[modifier | modifier le code]