Triangle rectangle

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Représentation d'un triangle ABC rectangle en C.

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit. On nomme alors hypoténuse le côté opposé à l'angle droit. De plus, on appelle cathète chaque côté adjacent à l'angle droit.

Dans un triangle ABC rectangle en C, le côté [AC] est appelé côté adjacent à l'angle de sommet A et le côté [CB] , côté opposé à l'angle de sommet A. Donc, par rapport à l'angle de sommet A, le côté [AC] est dit la cathète adjacente tandis que le côté [BC] est la cathète opposée.


Intérêt[modifier | modifier le code]

La connaissance des triangles rectangles et de leurs relations métriques permettent de travailler sur de nombreux problèmes. Par exemple :

  • on peut décomposer tout triangle en deux triangles rectangles ;
  • dans un repère orthonormé (O,\vec{\imath},\vec{\jmath}), si un point M se projette selon H sur l'axe (O,\vec{\imath}) et selon I sur l'axe (O,\vec{\jmath}), alors OHM et OMI sont des triangles rectangles ;
  • d'un point de vue vectoriel, un vecteur \vec{v} se décompose selon
    \vec{v} = x_v \cdot \vec{\imath} + y_v \cdot \vec{\jmath}
    les vecteurs (x_v \cdot \vec{\imath},y_v \cdot \vec{\jmath}, \vec{v}) forment un triangle rectangle ;
  • de manière générale, la trigonométrie concerne les relations dans le triangle rectangle.

Principales propriétés[modifier | modifier le code]

Aire[modifier | modifier le code]

Comme pour tout triangle, pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, on multiplie base et hauteur correspondantes, et on divise le tout par deux. Si ABC est rectangle en A, chacun des côtés AB et AC peut être considéré comme une hauteur, la base étant alors l'autre côté de l'angle droit (AC et AB respectivement). L'aire S du triangle est donc égale à S = (AB*AC)/2  .

Par exemple, on a un triangle rectangle en A avec AB = 4 cm, AC = 3 cm, et l'hypoténuse BC = 5 cm. On a S = (4*3)/2 = 6, donc l'aire du triangle rectangle est de 6 cm².

Remarque : On pourrait bien sûr utiliser aussi le troisième côté, l'hypoténuse BC, comme base, et trouver le même résultat, mais la hauteur associée à BC devrait être calculée, elle n'est pas directement un côté.

Théorème de Pythagore[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore précise que :

si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs des côtés de l’angle droit, soit :

BC2 = AC2 + AB2.

Réciproquement, tout triangle ABC vérifiant l'égalité précédente est un triangle rectangle en A.

Droites remarquables[modifier | modifier le code]

Médiane[modifier | modifier le code]

Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle
Article détaillé : Angle inscrit dans un demi-cercle.

La médiane issue de l'angle droit d'un triangle rectangle possède une propriété caractéristique parfois attribuée à Thalès :

si M est le milieu de l'hypoténuse, alors AM=1/2BC, c'est-à-dire que le point A est situé sur le cercle de diamètre [BC].
Réciproquement, si A est un point quelconque du cercle de diamètre [BC] alors le triangle ABC est rectangle en A.

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème (voir l'article détaillé).

Le théorème a un rapport étroit avec les propriétés des diagonales du rectangle. Plus précisément, un triangle ABC peu toujours être complété en un parallélogramme ABCD, dont les diagonales se coupent en leur milieu M. Le sens direct du théorème conclut que, AM = AD/2 = BC/2, ce qui équivaut à dire que les diagonales du rectangle, AD et BC, sont de même longueur. De la même façon, pour la réciproque, supposer que A est sur le cercle de diamètre [BC] revient à supposer que les diagonales du parallélogramme ABCD sont de même longueur, et on retrouve alors la propriété qu'un tel parallélogramme est rectangle.

La réciproque est aussi un cas particulier du le théorème de l'angle au centre, en prenant pour angle au centre, l'angle plat BOC. L'angle inscrit BAC, moitié de BOC, est alors un angle droit.

Le sens direct s'obtient facilement à partir du cas particulier du même théorème, quand l'angle inscrit est un angle droit : si O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en A, l'angle BOC, double de l'angle droit BAC, est plat donc les points B, O et C sont alignés. Comme de plus BO = OC, O = M milieu de [BC].

Centre de gravité[modifier | modifier le code]

Avec les notations précédentes (ABC rectangle en A et M le milieu de [BC]) : le centre de gravité G vérifie

\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}

(voir médianes et centre de gravité), et M se projette aux milieux de [AB] et de [AC] (ABM et ACM sont des triangles isocèles). Le point G se projette donc au tiers de [AB] et de [AC] :

\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).

Hauteur[modifier | modifier le code]

Triangle rectangle et pied de la hauteur

La hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle possède des propriétés caractéristiques dont l'une apparaît dans les premières pages du livre de René Descartes, La géométrie.

Dans tout triangle ABC dont H est le pied de la hauteur issue de C.

  • Si le triangle est rectangle en C alors
    • H appartient à [AB] et CH^2 = HA \times HB ;
    • H appartient à [AB] et AC^2 = AH \times AB ou BC^2 = BH \times AB ;
    • CH \times AB = CA\times CB.
  • Réciproquement, un triangle dans lequel l'une de ces trois propriétés est réalisée est un triangle rectangle en C.

Les deux premières propriétés se déduisent de l'observation des trois triangles semblables ABC, CBH et ACH. La troisième consiste à écrire l'aire du triangle rectangle en considérant successivement BC et BA comme base.

Les réciproques utilisent les mêmes outils : les premières égalités traduisent des égalités de rapports et la présence d'un angle droit ou d'un angle en commun confirment la présence de triangle semblables. donc certains sont rectangles.

L'orthocentre d'un triangle rectangle est de manière évidente le sommet où se trouve l'angle droit.

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit, a une longueur HC égale à la somme des rayons des cercles inscrits respectivement dans le triangle rectangle initial ABC et les deux triangles rectangles délimités par la hauteur. Si on appelle r le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC, r1 celui du cercle inscrit dans le triangle AHC, r2 celui du cercle inscrit dans le triangle BHC, et h la hauteur CH, on a :

h = r + r1 + r2

La hauteur h , les rayons r, r1 et r2 sont liés par les relations : \frac{h}{r_1}=\frac{a}{r} et \frac{h}{r_2}=\frac {b}{r}

r^2 = r_1^2 + r_2^2

et

\frac{r_1}{b} = \frac{r_2}{a}=\frac{r}{c}.

Bissectrice[modifier | modifier le code]

Triangle rectangle et son cercle inscrit

Dans tout triangle rectangle, les bissectrices se rencontrent en un point O centre du cercle inscrit au triangle. Le rayon de ce cercle inscrit est égal au demi-périmètre moins l'hypoténuse (voir schéma) soit, avec les mêmes notations :

r = AB + BC + CA/2 − AB .

On retrouve le théorème de Carnot, qui appliqué au triangle rectangle en C, donne, r étant le rayon du cercle inscrit, et R = AB/2 celui du cercle circonscrit :

CA + CB/2 = r + R   et   CA + CB = AB + 2 r

Le rayon r du cercle inscrit est aussi égal à deux fois la surface du triangle divisée par le périmètre.

Médiatrice[modifier | modifier le code]

Les médiatrices des côtés adjacents à l'angle droit dans un triangle rectangle possèdent une propriété caractéristique, conséquence directe du théorème de Thalès dans un cercle.

Pour tout triangle ABC dont la médiatrice du côté [BC] rencontre la droite (AB) en I

  • Si le triangle est rectangle en C alors I est le milieu de [AB].
  • Réciproquement, si le point I est le milieu de [AB] alors le triangle est rectangle en C.

La même réflexion sur l'inscription du triangle rectangle dans un demi-cercle permet de préciser le point d'intersection des médiatrices : c'est le milieu de l'hypoténuse.

Trigonométrie dans le triangle rectangle[modifier | modifier le code]

\scriptstyle\cos\alpha=\sin\beta=\frac{AC}{AB},\ \scriptstyle\sin\alpha=\cos\beta=\frac{BC}{AB}

Un triangle rectangle comporte un angle droit et deux angles aigus, du moins en géométrie euclidienne (sur une sphère, il existe des triangles à deux et même trois angles droits).

Deux triangles rectangles ayant un de leurs angles non droits égaux sont semblables : le rapport de deux des côtés du triangle rectangle ne dépend donc que d'un angle non droit. Cette propriété permet d'introduire les fonctions trigonométriques pour un angle aigu non orienté, dont la mesure est, en degré entre 0 et 90° (ou en radians, entre 0 et π/2). Par exemple pour un triangle ABC rectangle en A :

  • le cosinus de l'angle α est le rapport du côté de l'angle droit adjacent à α par l'hypoténuse, soit cos(α) = AC/AB ;
  • le sinus de l'angle α est le rapport du côté de l'angle droit opposé à α par l'hypoténuse, soit sin(α) = BC/AB ;
  • la tangente de l'angle α est le rapport du côté de l'angle droit opposé à α par côté de l'angle droit adjacent à α, tan(α) = BC/AC.

Triangle pythagoricien[modifier | modifier le code]

Le triangle 3-4-5, un exemple bien connu de triangle rectangle pythagoricien

Un triangle rectangle dont les trois côtés sont mesurés par des nombres entiers (pour une même unité de mesure) est appelé triangle pythagoricien. Par le théorème de Pythagore, les longueurs des trois côtés d'un triangle pythagoricien fournissent un triplet pythagoricien, qui est un triplet de nombres entiers (x, y, z) non nuls vérifiant x2 + y2 = z2. Par la réciproque du même théorème, un triplet pythagoricien permet de construire un triangle pythagoricien.

En particulier pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 3, on peut construire un triangle rectangle dont la longueur d'un côté de l'angle droit est mesurée par ce nombre n, les deux autres côtés étant mesurés par des nombres entiers :

  • Si n est un nombre pair, n = 2k, il suffit de prendre la longueur de l'autre côté de l'angle droit égale à k2 - 1. L'hypoténuse est alors de longueur égale à k2+1.
  • Si n est un nombre impair, n = 2k + 1, il suffit de prendre la longueur de l'autre côté de l'angle droit égale à 2k2 + 2k. L'hypoténuse est alors de longueur égale à 2k2 + 2k + 1.

On sait décrire plus généralement tous les triplets, et donc tous les triangles, pythagoriciens. Fermat a démontré qu'aucun de ceux-ci ne pouvait avoir pour aire un carré parfait.

Article détaillé : triplet pythagoricien.

Triangle rectangle sphérique[modifier | modifier le code]

Représentation d'un triangle trirectangle.

En géométrie non euclidienne, un triangle rectangle sphérique peut posséder deux ou trois angles droits[1].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Joseph Casimir Pascal, Cours de géométrie élémentaire, Bachelier,‎ , 367 p. (lire en ligne)