Octogone

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Octogone régulier
Image illustrative de l'article Octogone

Type Polygone régulier
Arêtes 8
Sommets 8

Symbole de Schläfli {8}
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
Angle interne 135°
Propriétés Constructible

Un octogone (du grec ὀκτάγωνον oktágōnon, cf. ὀκτώ oktṓ « huit » et γωνία gōnía « angle ») est un polygone à huit sommets, donc huit côtés et vingt diagonales.

La somme des angles internes d'un octogone non croisé est égale à 6π rad, soit 1 080°.

Octogone régulier[modifier | modifier le code]

Un octogone régulier est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même valeur.

Il existe un octogone régulier étoilé (en) (l'octagramme (en) régulier, noté {8/3}) mais usuellement, « octogone régulier » désigne implicitement l'octogone régulier convexe, noté {8}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour un octogone régulier de côté a :

Construction[modifier | modifier le code]

Construction d'un octogone régulier à la règle et au compas.

D'après le théorème de Gauss-Wantzel et puisque 8 est une puissance de 2, l'octogone régulier est constructible à la règle et au compas. La construction suivante est possible :

  • 1 : tracer une droite.
  • 2 : tracer un cercle dont le centre est situé sur la droite.
  • 3 : tracer un arc de cercle dont le centre est situé à l'intersection de la droite et du cercle précédent, de même rayon celui-ci.
  • 4 : tracer une droite passant par les deux points où les cercles se coupent.
  • 5 : tracer un arc de cercle ayant pour centre l'intersection des deux droites et passant par le centre du premier cercle.
  • 6 : tracer une droite passant par l'intersection de la dernière droite et du dernier cercle, et par le centre du cercle tracé en 2.
  • 7 : l'intersection avec le cercle donne la distance à reporter pour chaque côté de l'octogone
  • 8 à 10 : reporter les côtés.
  • 11 à 18 : tracer l'octogone.

Ou plus simplement :

  • Tracer un carré, tracer les diagonales.
  • Reporter la demi-diagonale sur les côtés du carré à partir de chaque angle.
  • Tracer l'octogone en coupant les coins du carré.

Architecture[modifier | modifier le code]

Plan du dôme du Rocher.

Plusieurs monuments furent construits selon un plan octogonal, parmi lesquels la tour des Vents à Athènes (Ier ou IIe siècle av. J.-C.), le dôme du Rocher à Jérusalem (VIIe siècle), ou encore Castel del Monte en Apulie, conçu par l'empereur Frédéric II du Saint-Empire au XIIIe siècle. Castel del Monte offre la particularité de se présenter comme un château octogonal flanqué de huit tours octogonales.

La tour des Vents d'Athènes a inspiré celle d'autres monuments : la Torre del Marzocco à Livourne (XVe siècle), l'observatoire Radcliffe à Oxford (XVIIIe siècle), le mausolée de Panayis Vagliano (de), fondateur de la Bibliothèque nationale de Grèce (cimetière de West Norwood, Londres), ou la Tour des vents de Sébastopol, édifiée en 1849.

Pour les alchimistes, l'octogone est le parfait mélange entre le carré (l'Humain) et le cercle (le Divin).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

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