Quadrilatère équidiagonal

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Un quadrilatère équidiagonal : en rouge ses diagonales (de longueur égales), en vert le losange de Varignon et en bleu, les bimédianes perpendiculaires.

Un quadrilatère équidiagonal est un quadrilatère convexe dont les diagonales ont la même longueur. Les quadrilatères équidiagonaux étaient importants dans les mathématiques indiennes antiques, où les quadrilatères étaient classés en premier lieu selon s'ils étaient équidiagonaux ou non[1].

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Un quadrilatère en cerf-volant équidiagonal maximisant rapport périmètre sur diamètre, inscrit dans un triangle de Reuleaux.

Les trapèzes isocèles, les rectangles et les carrés sont des quadrilatères équidiagonaux.

Le quadrilatère ayant le plus grand rapport de son périmètre à son diamètre est un cerf-volant équidiagonal ayant des angles de π/3, 5π/12, 5π/6 et 5π/12[2].

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Un quadrilatère convexe est équidiagonal si et seulement si son parallélogramme de Varignon, le parallélogramme formé par les milieux de ses côtés, est un losange. Une autre formulation est que les bimédianes du quadrilatère (les diagonales du parallélogramme de Varignon) soient perpendiculaires[3].

Un quadrilatère convexe ayant des diagonales de longueurs et et des bimédianes de longeurs et est équidiagonal si et seulement si[4]

Aire[modifier | modifier le code]

L' aire K d'un quadrilatère équidiagonal peut être facilement calculée à partir des longueurs m et n des bimédianes. Un quadrilatère est équidiagonal si et seulement si[4],[5]:

L'aire d'un quadrilatère convexe étant le double de l'aire de son parallélogramme de Varignon, comme les diagonales de ce parallélogramme sont les bimédianes du quadrilatère, on en déduit la condition ci-dessus.

En utilisant les formules pour les longueurs des bimédianes, l'aire peut également être exprimée en fonction des côtés a, b, c, d du quadrilatère équidiagonal et de la distance x entre les milieux des diagonales par[5] :

D'autres formules d'aire peuvent être obtenues en définissant p = q dans les formules d'aire d'un quadrilatère convexe.

Relation avec d'autres quadrilatères[modifier | modifier le code]

Un parallélogramme est équidiagonal si et seulement si c'est un rectangle[6]; un trapèze est équidiagonal si et seulement si c'est un trapèze isocèle. Les quadrilatères équidiagonaux cycliques sont exactement les trapèzes isocèles.

On observe une forme de dualité entre quadrilatères équidiagonaux et quadrilatères orthodiagonaux : un quadrilatère est équidiagonal si et seulement si son parallélogramme de Varignon est orthodiagonal (un losange), et un quadrilatère est orthodiagonal si et seulement si son parallélogramme de Varignon est équidiagonal (un rectangle)[3].

De la même manière, un quadrilatère a des diagonales égales si et seulement s'il a des bimédianes perpendiculaires, et il a des diagonales perpendiculaires si et seulement s'il a des bimédianes égales[7]. Silvester[8] donne d'autres relations entre les quadrilatères équidiagonaux et orthodiagonaux, via une généralisation du théorème de van Aubel.

Les quadrilatères à la fois équidiagonaux et orthodiagonaux sont appelés pseudo-carrés, ou en anglais quadrilatères de carré médian (midsquare quadrilaterals)[4] car ce sont les seuls pour lesquels le parallélogramme de Varignon (ayant pour sommets les milieux des côtés du quadrilatère) est un carré. Un tel quadrilatère, de côtés successifs a, b, c, d, a pour aire[4] :

Un parallélogramme est un pseudo-carré si et seulement s'il est lui-même un carré.

Les quadrilatères à la fois orthodiagonaux et équidiagonaux, et dans lesquels les diagonales sont au moins aussi longues que les côtés du quadrilatère, sont les quadrilatères d'aire maximale à diamètre donné, résolvant le cas n = 4 du problème du plus grand petit polygone. Le carré est un de ces quadrilatères dont le nombre est illimité.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  1. (en) Brahmagupta, Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara. Transl. by Henry-Thomas Colebrooke, John Murray, (lire en ligne)
  2. (en) David Griffiths et David Culpin, « Pi-optimal polygons », The Mathematical Gazette, vol. 59, no 409,‎ , p. 165–175 (ISSN 0025-5572 et 2056-6328, DOI 10.2307/3617699, lire en ligne, consulté le )
  3. a et b Michael D. De Villiers, Some adventures in Euclidean geometry, Michael de Villiers (trading as Dynamic Mathematics Learning), (ISBN 978-0-557-10295-2 et 0-557-10295-2, OCLC 728653062, lire en ligne)
  4. a b c et d (en) Martin Josefsson, « Properties of Equidiagonal Quadrilaterals », Forum Geometricorum, vol. 14,‎ , p. 129-144 (lire en ligne [PDF])
  5. a et b (en) Martin Josefsson, « Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles », Forum Geometricum, vol. 13,‎ , p. 17-21 (lire en ligne [PDF])
  6. (en) Paulus Gerdes, « On culture, geometrical thinking and mathematics education », Educational Studies in Mathematics, vol. 19, no 2,‎ , p. 137–162 (ISSN 0013-1954 et 1573-0816, DOI 10.1007/BF00751229, lire en ligne, consulté le )
  7. (en) Martin Josefsson, « Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals », Forum Geometricum, vol. 12,‎ , p. 13-25 (lire en ligne [PDF])
  8. John R. Silvester, « Extensions of a Theorem of Van Aubel », The Mathematical Gazette, vol. 90, no 517,‎ , p. 2–12 (ISSN 0025-5572, lire en ligne, consulté le )