Hypoténuse

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Cet article court présente un sujet plus développé dans : triangle rectangle, théorème de Pythagore et théorème de Thalès (cercle).
L'hypoténuse du triangle ABC rectangle en C, est le côté AB.

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse de ce triangle rectangle. Les deux autres côtés, adjacents à l'angle droit, sont parfois appelés cathètes de ce triangle. Le théorème de Pythagore, parfois appelé théorème de l'hypoténuse, affirme que dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse égale la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre du cercle circonscrit à celui-ci.

Un triangle rectangle possède deux côtés perpendiculaires et le troisième s'appelle hypotenuse.

Étymologie[modifier | modifier le code]

Le mot vient du latin hypotenusa, lui-même transcrit du grec ancien ὑποτείνουσαhupoteinousa, du préfixe hupo- « sous », et teino, teinein «  tendre  ». Hypoténuse signifie donc littéralement « celle qui sous-tend », c'est-à-dire « (le côté) se tendant sous ... »[1],[2],[3].

Platon, avant Euclide, a utilisé ce terme pour désigner le côté du triangle rectangle qui semble être « tendu » par le secteur angulaire de l'angle droit[3].

Hypoténuse est du genre féminin[2].

Calcul numérique de la longueur de l'hypoténuse[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de Pythagore, la longueur c de l'hypoténuse est calculée en fonction des longueurs a et b des deux autres côtés par :

.

Ce calcul est très important en algèbre linéaire puisqu'il correspond à la norme euclidienne en dimension 2. En géométrie, il permet de passer d'une représentation cartésienne à une représentation polaire et en analyse, il permet de calculer le module d'un nombre complexe.

Cependant, si a ou b prennent des valeurs très élevées, le calcul intermédiaire de a2 ou de b2 avec un ordinateur peut créer une erreur de dépassement ou de soupassement.

Typiquement, le nombre le plus grand représentable en simple précision est de l'ordre de 3 × 1038 ; ainsi, si a ou b est supérieur à 2 × 1019, le logiciel déclarera le résultat « infini » (erreur de dépassement), même si le résultat final est représentable (par exemple si l'autre longueur est petite en valeur absolue) ; par exemple, . Avec une représentation en double précision, le nombre le plus grand représentable est environ 1,8 × 10308, donc le résultat sera déclaré « infini » si a ou b est supérieur à 1,3 × 10154.

À l'inverse, la valeur absolue la plus petite représentable est environ 1,1 × 10-38 en simple précision et 2,2 × 10-308 en double précision. Ainsi, en simple précision, le calcul pour a = b = 2 × 10-38 donnera 0 (erreur de soupassement), alors que la valeur attendue est représentable et vaut environ 1,4 × 10-38.

Pour éviter cela, on peut utiliser des méthodes itératives, comme par exemple la méthode de Moler et Morrison[4]. Cette méthode consiste à remplacer a et b par deux nombres p et q positifs (avec pq) ayant sensiblement la même « somme pythagoricienne », c'est-à-dire que . À chaque étape, l'algorithme diminue la valeur de q et augmente la valeur de p tout en conservant la somme pythagoricienne. Lorsque la valeur de q devient très petite, on a donc . Concrètement, l'algorithme s'écrit en pseudo-code :

fonction [résultat] = somme_pythagoricienne(a, b)

// initialisation
p ← max(|a|, |b|)
q ← min(|a|, |b|)

// Calcul
tant que (q a une valeur significative) faire
  r ← (q/p)^2
  s ← r/(4 + r)
  p ← p + 2*s*p
  q ← s*q
fin de boucle

résultat ← p

fin de fonction

Pour un calcul de norme euclidienne dans un espace de dimension supérieure à 2, il suffit de calculer la somme pythagoricienne de manière successive. Pour un vecteur X de dimension n :

fonction [résultat] = norme2(X)

// initialisation
n ← dimension(X)
s ← 0

// Calcul
pour i allant de 1 à n
  s ← somme_pythagoricienne(s, X(i))
fin de boucle

résultat ← s

fin de fonction

Références[modifier | modifier le code]

  1. Alain Rey (dir.), Dictionnaire historique de la langue française [détail des éditions].
  2. a et b Alain Rey (dir.), Le Grand Robert de la Langue Française, Le Robert, (ISBN 2850366730), article hypoténuse.
  3. a et b Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil, (ISBN 2020123347), article hypoténuse.
  4. (en) Cleve B. Moler et Donald Morrison, « Replacing square roots by pythagorean sums », IBM Journal of Research and Development, vol. 27 numéro = 6,‎ , p. 577–581.