Icosagone

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Un icosagone est un polygone à 20 sommets, donc 20 côtés et 170 diagonales.

La somme des angles internes d'un icosagone non croisé vaut 3 240 degrés.

L'icosagone régulier est constructible.

Icosagones réguliers[modifier | modifier le code]

Un icosagone régulier est un icosagone dont les 20 côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a quatre : trois étoilés (les icosagrammes notés {20/3}, {20/7} et {20/9}) et un convexe (noté {20}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'icosagone régulier ».

L'icosagone régulier convexe {20} et ses angles remarquables.

Caractéristiques de l'icosagone régulier[modifier | modifier le code]

Chacun des 20 angles au centre mesure 360°/20 = 18° et chaque angle interne mesure 3 240°/20 = 162°.

Si a est la longueur d'une arête :

  • le périmètre vaut P = 20 a ;
  • l'aire vaut A = 5a2 cot(π/20), soit[1] ;
  • l'apothème vaut H = 2A/P = (a/2) cot(π/20) ;
  • le rayon vaut

Constructibilité[modifier | modifier le code]

On peut construire l'icosagone à partir du dodécagone (obtenu lui-même d'une façon ou d'une autre), de la même façon qu'on construit ce dernier à partir du pentagone : par bissection.

On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 20 est le produit de 4 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).

Référence[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles — Pi/20 », MathWorld