Décagone

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Un décagone régulier et ses angles remarquables.

Un décagone est un polygone à 10 sommets, donc 10 côtés et 35 diagonales.

La somme des angles internes d'un décagone non croisé vaut 1 440°.

Un décagone régulier est un décagone dont les dix côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a deux : un étoilé (en) (le décagramme (en) noté {10/3}) et un convexe (noté {10}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le décagone régulier ». Il est constructible.

Aire d'un décagone régulier[modifier | modifier le code]

L'aire d'un décagone régulier de côté a vaut \frac{5~a^2}2\cot\tfrac{\pi}{10}=\frac{5~a^2}2\sqrt{5+2\sqrt5}.

Plusieurs constructions possibles pour un décagone régulier[modifier | modifier le code]

Construction très simple d'un décagone régulier[modifier | modifier le code]

Cette construction est excessivement simple mais n'est pas forcément exacte :

  • Tracer un cercle Γ de centre O.
  • Soit A un point quelconque appartenant à Γ.
  • Il suffit alors de placer le point B sur Γ de façon que l'angle \widehat {AOB} mesure 36°. En effet, on a 360/10 = 36°. Pour placer le point B, il faut utiliser un rapporteur, ce qui peut être source d'inexactitudes dans le reste de la construction (un rapporteur n'est jamais très précis).
  • Il ne reste plus qu'à reporter AB sur le cercle de manière à obtenir les 8 sommets restants.
  • Enfin on relie les différents sommets entre eux de manière à obtenir un décagone (à peu près) régulier.

Construction exacte d'un décagone régulier à partir d'un pentagone[modifier | modifier le code]

Après avoir construit un pentagone régulier, il est facile de construire un décagone régulier : par bissection.

  • Tracer un cercle qui passe par tous les sommets du pentagone.
  • Tracer le milieu de chaque côté du pentagone.
  • Tracer un segment qui joint le centre du pentagone au point milieu de chaque côté et qui touche le cercle.
  • Joindre, avec des segments, toutes les paires de points voisins qui touchent au cercle.

Construction exacte d'un décagone régulier à partir d'un rectangle d'or[modifier | modifier le code]

  • Tracer un cercle Γ de centre O et de diamètre [AB].
  • La médiatrice de [AB] (passant donc par O et perpendiculaire à [AB]) coupe le cercle Γ en deux points C et D.
  • Tracer le milieu H de [OA].
  • Le cercle de centre H et de rayon HC coupe [OB] en E (les proportions AE/OA et OA/OE sont égales au nombre d'or).
  • Reporter 10 fois de suite la longueur OE sur le cercle Γ (à partir d'un point quelconque du cercle) pour obtenir les sommets d'un décagone régulier.
  • Relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.

Variante de la construction précédente[modifier | modifier le code]

  • Tracer Γ, O, A, B, C, D, H comme ci-dessus.
  • Le cercle de centre H et de rayon HO coupe [CH] en F.
  • Terminer comme ci-dessus en reportant 10 fois la longueur CF (égale à la longueur OE précédente).

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