Figure isogonale

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Exemple : Un cuboctaèdre tronqué isogonal, construit à partir d'un cube aux arêtes chanfreinées et aux sommets tronqués.

En géométrie, un polytope (un polygone ou un polyèdre, par exemple) est dit isogonal si tous ses sommets sont identiques. Autrement dit, chaque sommet est entouré du même type de face dans le même ordre et avec les mêmes angles entre les faces correspondantes.

Plus précisément : le groupe de symétrie du polytope agit transitivement sur l'ensemble des sommets.

Polygone isogonal[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Polygone équiangle.
Un octogone isogonal convexe et ses quatre axes de symétrie[1].

Tous les polygones réguliers, qu'ils soient convexes ou étoilés (en), sont isogonaux.

Les autres polygones isogonaux sont les polygones équiangles à 2n côtés (n = 2, 3…) dont la longueur prend alternativement deux valeurs différentes, comme le rectangle. Ils présentent une symétrie diédrale Dn avec n axes de symétrie reliant les milieux des côtés opposés.

Les duaux des polygones isogonaux sont les polygones isotoxaux.

Polyèdre isogonal[modifier | modifier le code]

Les polyèdres isogonaux peuvent être classés en :

  • Régulier s'il est également isoédral (en) et isotoxal ; ceci implique que chaque face soit un même polygone régulier.
  • Quasi-régulier s'il est également isotoxal mais non nécessairement isoédral.
  • Noble (en) s'il est également isoédral mais non nécessairement isotoxal.
  • Semi-régulier si chaque face est un polygone régulier mais que le polyèdre n'est ni isoèdral ni isotoxal.
  • Uniforme si chaque face est un polygone régulier, c'est-à-dire que le polyèdre est régulier, quasi-régulier ou semi-régulier.

Un polyèdre isogonal est un cas particulier de figure de sommet. Si les faces sont régulières (et que donc le polyèdre est uniforme) il peut être représenté par une configuration de sommets (en) indiquant la suite des faces autour de chaque sommet.

Polytopes isogonaux et tessellations[modifier | modifier le code]

Cette définition peut être étendue aux polytopes et aux tessellations. Plus généralement, les polytopes uniformes (en) sont isogonaux, par exemple, les 4-polytopes uniformes et les nids d'abeille uniformes convexes (en).

Le dual d'un polytope isogonal est isoédral.

Figures k-isogonales[modifier | modifier le code]

Un polytope est dit k-isogonal si ses sommets formes des classes k-transitives.

Truncated rhombic dodecahedron2-2.svg
Ce dodécaèdre rhombique tronqué est 2-isogonal car il contient 2 classes de transitivité de sommets. Ce polyèdre est formé de carrés et d'hexagones aplatis.
Dem3446bc.svg
Ce pavage semi-régulier est également2-isogonal. Il est constitué de triangles équilatéraux, de carrés et d'hexagones réguliers.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Isogonal figure » (voir la liste des auteurs).

  1. La catégorie « Polygones tronqués » de Commons contient beaucoup d'autres exemples de polygones isogonaux, convexes ou croisés.

Liens externes[modifier | modifier le code]