Symétrie axiale

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Une symétrie d'axe p.

En géométrie euclidienne élémentaire, une symétrie axiale ou réflexion est une transformation géométrique du plan qui modélise un « pliage » ou un « effet miroir » : deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu'elles se superposent après pliage le long de cette droite. C'est un cas particulier de symétrie.

La symétrie axiale d'axe la droite d transforme tout point M en l'unique point M' tel que d soit la médiatrice du segment [MM']. Autrement dit : elle laisse tous les points de d invariants et transforme tout point M non situé sur d en le point M' tel que :

Le point M' est alors appelé le symétrique de M par rapport à l'axe de symétrie d.

Par rapport à d, deux figures du plan sont dites symétriques lorsque l'une est l'image de l'autre par cette application, et une figure est dite symétrique lorsqu'elle est symétrique d'elle-même, c'est-à-dire globalement invariante par cette transformation. La droite d est alors dite axe de symétrie de la figure.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Involution[modifier | modifier le code]

La symétrie axiale est — comme toute symétrie — une involution, c'est-à-dire qu'on retrouve le point ou la figure de départ si on l'applique deux fois. En particulier, c'est une bijection.

Conservation[modifier | modifier le code]

La symétrie axiale est une isométrie affine ; elle conserve :

  • l'alignement (la symétrique d'une droite est une droite),
  • le parallélisme (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles),
  • les distances,
  • les angles géométriques (le symétrique d'un angle est un angle de même mesure),
  • les périmètres (la symétrique d'une figure est une figure de même périmètre),
  • les aires (la symétrique d'une figure est une figure de même aire).

Mais elle ne conserve pas l'orientation (ni, par conséquent, les angles orientés) : quand le point M tourne autour de O « dans le sens des aiguilles d'une montre », son symétrique M' tourne autour de O' dans le sens inverse.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si une droite est sécante à l'axe de symétrie d en M, il en sera de même pour sa symétrique.
  • Si une droite est parallèle à l'axe de symétrie d, il en sera de même pour sa symétrique.
  • Si une droite est perpendiculaire à l'axe de symétrie d, elle est sa propre symétrique.
  • Le symétrique par rapport à d d'un cercle de centre O est le cercle de même rayon et de centre O', le symétrique de O par rapport à d.

Construction du symétrique d'un point M par rapport à une droite d[modifier | modifier le code]

Un triangle (ABC) et son image (A'B'C') par la symétrie d'axe (c1c2). Le point B' est construit au compas seul tandis que C' est construit avec l'équerre.

On suppose tracés un point M et une droite d ne passant pas par M.

À la règle graduée et à l'équerre[modifier | modifier le code]

  • Tracer la droite passant par M et perpendiculaire à la droite d et noter I le point d'intersection des deux droites.
  • Placer sur la droite (MI) le point M' symétrique de M par rapport à la droite d tel que MI = IM'.

Au compas seul[modifier | modifier le code]

  • Placer deux points distincts A et B sur la droite d.
  • Tracer l'arc de cercle de centre A et de rayon AM.
  • Tracer l'arc de cercle de centre B et de rayon BM.
  • Les deux arcs de cercle se recoupent en un point M' symétrique de M par rapport à d.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Symétrie centrale