Approximation de π

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Graphique montrant l'évolution historique de la précision record des approximations numériques de π, mesurée en décimales (représentée sur une échelle logarithmique).

Dans l'histoire des mathématiques, les approximations de la constante π ont atteint une précision de 0,04 % de la valeur réelle avant le début de l'ère commune (Archimède). Au Ve siècle, des mathématiciens chinois les ont améliorées jusqu'à sept décimales.

De grandes avancées supplémentaires n'ont été réalisées qu'à partir du XVe siècle (Al-Kashi). Les premiers mathématiciens modernes ont atteint une précision de 35 décimales au début du XVIIe siècle (Ludolph van Ceulen) et 126 chiffres au XIXe siècle (Jurij Vega), dépassant la précision requise pour toute application concevable en dehors des mathématiques pures.

Le record de l'approximation manuelle de π est détenu par William Shanks, qui a calculé 527 décimales correctes dans les années 1873. Depuis le milieu du XXe siècle, l'approximation de π a été la tâche d'ordinateurs. En novembre 2016, le record est de 2,24×1013 chiffres après la virgule.

Histoire[modifier | modifier le code]

Antiquité[modifier | modifier le code]

Les approximations les plus connues de π datant avant l'ère commune étaient exactes à deux décimales ; cela a été amélioré avec les mathématiques chinoises en particulier au milieu du premier millénaire, à une précision de sept décimales. Après cela, aucun progrès n'a été réalisé jusqu'à la fin de la période médiévale.

Certains égyptologues[1] ont prétendu que les mathématiciens de l'Égypte antique utilisaient une approximation fractionnaire de π, telle que 227 de l'Ancien Empire égyptien[2]. Cette affirmation rencontre un scepticisme[3],[4].

Les mathématiques babyloniennes évaluaient généralement π à 3, ce qui suffisait pour les projets architecturaux de l'époque (notamment dans la description du temple de Salomon dans la Bible hébraïque)[5]. Les Babyloniens savaient qu'il s'agissait d'une approximation, et une vieille tablette mathématique babylonienne exhumée près de Suse en 1936 (datée entre le XIXe et le XVIIe siècle av. J.-C.) apporte une meilleure approximation de π258 = 3,125, soit proche de 0,5% de la valeur exacte[6],[7],[8],[9].

À peu près au même moment, le papyrus Rhind égyptien (daté de la Deuxième Période intermédiaire, soit 1600 avant notre ère) donne l'approximation 25681 ≈ 3,16 (précis à 0,6 %) en calculant l'aire d'un octogone régulier approximant un cercle[10].

Les calculs astronomiques dans le Shatapatha Brahmana (en) (vers le VIe siècle av. J.-C.) utilisent l'approximation fractionnaire 339/108 ≈ 3,139[11].

Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède a prouvé les inégalités strictes 22371 < π < 227, au moyen d'un 96-gone (précision de 2·10−4 et 4·10−4, respectivement).

Au IIe siècle, Ptolémée a utilisé la valeur 377120, la première approximation connue précise à trois décimales[12].

Le mathématicien chinois Liu Hui, en 263 av. J.C., a calculé que π serait entre 3,141024 et 3,142708, qui correspondent aux constructions d'un 96-gone et d'un 192-gone ; la moyenne de ces deux valeurs est 3,141866 (précision de 9·10−5). Il a également suggéré que 3,14 était une approximation suffisante pour des raisons pratiques. Il a souvent été crédité d'un résultat plus précis π ≈ 3927/1250 = 3,1416 (précision de 2·10−6), bien que certains chercheurs pensent plutôt que cela est dû au mathématicien chinois Zu Chongzhi[13]. Zu Chongzhi est connu pour avoir donné l'encadrement de π entre 3,1415926 et 3,1415927, qui était correct à sept décimales près. Il a donné deux autres approximations de π : π ≈ 22/7 et π ≈ 355/113. La dernière fraction est la meilleure approximation rationnelle possible de π en utilisant moins de cinq chiffres décimaux au numérateur et au dénominateur. Le résultat de Zu Chongzhi restera l'approximation la plus juste pendant près d'un millénaire.

À l'époque de l'empire Gupta (VIe siècle), le mathématicien Aryabhata, dans son traité astronomique Āryabhaṭīya, a calculé la valeur de π à cinq chiffres significatifs (π ≈ 62832/20000 = 3,1416)[14]. Il l'a utilisé pour calculer une approximation de la circonférence de la Terre[15]. Aryabhata a affirmé que son résultat donnait « approximativement » (āsanna) la circonférence d'un cercle. Nilakantha Somayaji (en) (école du Kerala) a fait remarquer, au XVe siècle, que le mot signifie non seulement que c'est une approximation, mais que la valeur est « incommensurable » (c.-à-d. irrationnelle)[16].

Moyen Âge[modifier | modifier le code]

Au Ve siècle, π était connu à environ sept décimales dans les mathématiques chinoises, et à environ cinq dans les mathématiques indiennes. Les progrès suivant n'ont été réalisés plus d'un millénaire après, jusqu'au XIVe siècle, lorsque le mathématicien et astronome indien Madhava de Sangamagrama, fondateur de l'école du Kerala d'astronomie et de mathématiques, a découvert une série infinie pour π, maintenant connue sous le nom de formule de Madhava-Leibniz[17],[18], et a donné deux méthodes pour calculer la valeur de π. Ce faisant, il a obtenu la série infinie

et a utilisé les 21 premiers termes pour calculer les 11 premières décimales de π.

L'autre méthode qu'il utilisait était d'ajouter un terme restant à la série originale de π. Il a utilisé le terme restant

dans l'extension de série infinie de π4 pour améliorer l'approximation de π à 13 décimales, lorsque n = 75.

Al-Kashi, un astronome et mathématicien perse, a calculé correctement à 9 chiffres sexagésimaux en 1424[19]. Convertie en base dix, cette approximation est donnée par 17 chiffres :

,

ce qui équivaut à

.

Il a atteint ce niveau de précision en calculant le périmètre d'un polygone régulier à 3 × 228 côtés[20].

Du XVIe au XIXe siècle[modifier | modifier le code]

Dans la seconde moitié du XVIe siècle, le mathématicien français François Viète a découvert un produit infini qui converge vers π, connu sous le nom de formule de Viète.

Le mathématicien germano-néerlandais Ludolph van Ceulen (vers 1600) a calculé les 35 premières décimales de π à l'aide d'un 262-gone. Il était si fier de ce résultat qu'il l'a fait inscrire sur sa pierre tombale.

Dans Cyclometricus (1621), Willebrord Snell affirme que le périmètre du polygone inscrit approche la circonférence deux fois plus vite que le périmètre que le polygone circonscrit correspondant. La preuve sera apportée par Christiaan Huygens en 1654. Snell a obtenu 7 décimales de π avec un 96-gone (en)[21].

En 1789, le mathématicien slovène Jurij Vega a calculé les 140 premières décimales de π, cependant les 14 dernières étaient incorrectes[22] et ce résultat a été le record du monde pendant 52 ans jusqu'en 1841, lorsque William Rutherford (en) a calculé 208 décimales dont les 152 premières étaient correctes. Vega a ensuite amélioré la formule de John Machin à partir de 1706 et sa méthode est encore mentionnée aujourd'hui.

Le mathématicien amateur anglais William Shanks a passé plus de 20 ans à calculer les 707 premières décimales de π. Lorsqu'il eut terminé sa tâche en 1873, les 527 premières décimales étaient correctes. Il calculait de nouvelles décimales toute la matinée et passait l'après-midi à vérifier le travail de la matinée. Il s'agissait de l'approximation la plus précise de π jusqu'à l'avènement de l'ordinateur, un siècle plus tard.

XXe siècle[modifier | modifier le code]

En 1910, le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan a trouvé plusieurs séries infinies de π de convergence rapide, comme

qui calcule à chaque nouvelle itération huit décimales supplémentaires de π. Ses séries sont maintenant la base des algorithmes les plus rapides actuellement utilisés pour calculer π.

À partir du milieu du XXe siècle, tous les calculs de π ont été effectués à l'aide de calculatrices ou d'ordinateurs.

En 1944, D. F. Ferguson, à l'aide d'une calculatrice mécanique, a constaté que William Shanks avait commis une erreur à la 528e décimale et que toutes les décimales suivantes étaient incorrectes.

Dans les premières années de l'ordinateur, un développement de π à 100 000 décimales[23] a été calculé par le mathématicien de l'université du Maryland Daniel Shanks (n'ayant aucun rapport avec William Shanks mentionné ci-dessus) et son équipe au Naval Research Laboratory à Washington. En 1961, Shanks et son équipe ont utilisé deux séries différentes pour calculer les décimales de π. D'une part, on savait que toute erreur produirait une valeur légèrement élevée, et pour l'autre, on savait que toute erreur produirait une valeur légèrement plus faible que la valeur réelle. Par conséquent, tant que les deux séries produisaient les mêmes chiffres, il n'y avait pratiquement aucun doute sur la justesse des décimales calculées. Les premiers 100 265 chiffres après la virgule de π ont été publiés en 1962[23].

En 1989, les frères Chudnovsky ont calculé correctement π à 4,8×108 décimales grâce au superordinateur IBM 3090 en utilisant la variation suivante de la série infinie de Ramanujan :

.

En 1999, Yasumasa Kanada et son équipe de l'université de Tokyo ont calculé π à 2,0615843×1011 décimales, grâce au superordinateur Hitachi SR8000/MPP en utilisant une autre variante de la série infinie de Ramanujan.

XXIe siècle[modifier | modifier le code]

Les records depuis lors ont tous été accomplis sur des ordinateurs personnels en utilisant l'algorithme de Chudnovsky (en).

Le 6 décembre 2002, Yasumasa Kanada et une équipe de 9 autres personnes, utilisant le Hitachi SR8000, un supercalculateur avec 1 téraoctet de mémoire, ont calculé π à environ 1,2411×1012 décimales en environ 600 heures[24],[25].

Le 29 avril 2009, Daisuke Takahashi et al., de l'université de Tsukuba, avec un supercalculateur T2K, ont plus que doublé le record précédent, en calculant π à plus de 2,57×1012 décimales, en moins de 74 heures au total (calcul et vérification)[26].

Le 31 décembre 2009, Fabrice Bellard a utilisé un ordinateur personnel pour calculer un peu moins de 2,7×1012 décimales de π. Les calculs ont été effectués en binaire, puis le résultat a été converti en base 10. Les étapes de calcul, de conversion et de vérification ont pris au total 131 jours[27].

À partir de 2010, tous les records ont été obtenus à l'aide du logiciel « y-cruncher » d'Alexander Yee :

  • en août 2010, Shigeru Kondo a calculé 5×1012 décimales de π[28]. Le calcul a été effectué entre le 4 mai et le 3 août, les vérifications primaires et secondaires ayant respectivement duré 64 et 66 heures[29] ;
  • le 16 octobre 2011, Shigeru Kondo a doublé son propre record en calculant 1013 décimales en utilisant la même méthode, mais accompagné d'un meilleur matériel[30],[31],[32] ;
  • en décembre 2013, Kondo a battu son propre record pour une seconde fois lorsqu'il a calculé 1,21×1013 décimales de π. La limitation est principalement due à celle de l'espace de stockage[33] ;
  • le 8 octobre 2014, quelqu'un, sous le pseudonyme de « houkouonchi », a calculé 1,33×1013 décimales de π[34] ;
  • le 15 novembre 2016, Peter Trueb et ses sponsors ont calculé, toujours grâce au programme y-cruncher, 2,245 915 771 836 1×1013 (πe×1012) décimales de π. Le calcul avait pris (avec 3 interruptions) 105 jours[34],[35].

Développement de formules efficaces[modifier | modifier le code]

Approximation polygonale d'un cercle[modifier | modifier le code]

Archimède, dans De la mesure du cercle, a créé le premier algorithme pour le calcul de π, basé sur l'idée que le périmètre de n'importe quel polygone inscrit dans un cercle est inférieur à la circonférence du cercle qui, à son tour, est inférieur que le périmètre de tout polygone circonscrit à ce cercle. Il a commencé par des hexagones réguliers inscrits et circonscrits, dont les périmètres sont facilement déterminés. Il montre alors comment calculer les périmètres des polygones réguliers ayant deux fois plus de côtés qui sont inscrits et circonscrits autour du même cercle. Il s'agit d'une procédure récursive qui serait décrite aujourd'hui comme suit :

Soit pk et Pk les périmètres de polygones réguliers à k côtés, inscrits et circonscrits autour du même cercle, respectivement. Alors,

Archimède a utilisé le processus décrit pour calculer successivement P12, p12, P24, p24, P48, p48, P96 et p96[36]. Il a obtenu l'encadrement suivant en partant des trois dernières valeurs

.

On ne sait pas pourquoi Archimède s'est arrêté à un polygone de 96 côtés. Héron rapporte dans son Metrica qu'Archimède a continué le calcul dans un livre maintenant perdu, mais lui attribue une valeur incorrecte[37].

Archimède n'utilise pas la trigonométrie dans ce calcul et la difficulté d'appliquer la méthode réside dans l'obtention de bonnes approximations pour les racines carrées des calculs impliqués. La trigonométrie a probablement été utilisée par Claudius Ptolémée pour obtenir la valeur de π donnée dans l'Almageste (environ 150 après J.C.)[38].

La formule de Viète, publiée par François Viète en 1593, a été obtenue en utilisant une méthode polygonale, avec des aires (plutôt que des périmètres) de polygones dont les nombre de côtés sont des puissances de 2[39].

Une amélioration trigonométrique par Willebrord Snell (1621) a permis d'obtenir de meilleures limites à partir de la méthode du polygone. Ainsi, des résultats plus précis ont été obtenus, nécessitant moins de côtés[40]. La dernière tentative majeure de calculer π par cette méthode a été effectuée en 1630 par Christopher Grienberger, qui a calculé 39 décimales en utilisant l'amélioration de Snell.

Formules du type de Machin[modifier | modifier le code]

Pour des calculs rapides, on peut utiliser des formules similaires à celle de John Machin :

avec le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente. Cette formule se vérifie plus facilement à l'aide de coordonnées polaires de nombres complexes, produisant :

.

((x, y) = (239, 132) est une solution de l'équation de Pell x2 − 2y2 = −1.)

Les formules de ce type sont connues sous le nom de formules du type de Machin. Celle-ci a bien été utilisée dans l'ère informatique pour calculer un nombre record de décimales de π mais plus récemment, d'autres formules similaires ont été utilisées.

Par exemple, Shanks et son équipe ont utilisé la formule suivante de Machin en 1961 pour calculer les 100 000 premiers chiffres de π :

,

ainsi que

,

servant de vérification.

Le record enregistré en décembre 2002 par Yasumasa Kanada (voir supra) utilisait les formules suivantes de Machin :

K. Takano (1982).

F. C. W. Störmer (1896).

Autres formules classiques[modifier | modifier le code]

D'autres formules qui ont été utilisées pour calculer les estimations de π sont entres autres :

Liu Hui (voir aussi Formule de Viète) :

Madhava :

Euler :

Transformation de Newton/Euler[41] :

où (2k + 1)!! désigne le produit des entiers impairs jusqu'à 2k + 1.

Ramanujan :

David et Gregory Chudnovsky :

Le travail de Ramanujan est à la base de l'algorithme de Chudnovsky, les algorithmes les plus rapides utilisés pour calculer π.

Algorithmes modernes[modifier | modifier le code]

Les développements décimaux extrêmement longs de π sont généralement calculés avec des algorithmes tels que l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein (en). Ce dernier, trouvé en 1985 par Jonathan et Peter Borwein, converge très rapidement :

Pour et

, la suite converge de manière quartique vers π et donne 171 décimales en trois étapes[42], donc plus de 1012 décimales en 20 étapes. Cependant, l'algorithme de Chudnovsky (qui converge linéairement) est plus rapide que ces formules itératives.

Le premier million de décimales de π et 1/π sont disponibles grâce au projet Gutenberg (voir les liens externes ci-dessous).

Approximations diverses[modifier | modifier le code]

Historiquement, la base 60 a été utilisée pour les calculs de π. Dans cette base, π peut être approché à huit chiffres (décimaux) significatifs avec le nombre 3:8:29:44_60, c.-à-d.

.

(Le chiffre sexagésimal suivant est 0, ce qui permet de tronquer ici pour obtenir une approximation relativement bonne.)

En outre, les expressions suivantes peuvent être utilisées pour estimer π :

  • précision de trois décimales :
  • précision de trois décimales :
Karl Popper a supposé que Platon connaissait cette expression, qu'il croyait qu'il s'agissait de la valeur exacte de π, et qu'elle était responsable de la confiance de Platon dans l'omnicompétence de la géométrie mathématique.
  • précision de quatre décimales:
[43]
  • précision de quatre décimales :
[44]
  • une approximation par Ramanujan, précise à 4 chiffres :
  • précision de cinq décimales :
  • précision de sept décimales :
  • précision de neuf décimales :
Provenant de Ramanujan, celui-ci a affirmé que la déesse de Namagiri lui est apparue dans un rêve et lui a dit la vraie valeur de π[45].
  • précision de dix décimales :
  • précision de dix décimales :

Cette approximation curieuse résulte de l'observation que la 193e puissance de 1/π, produisant la suite 1122211125[46]...

  • précision de 18 décimales :
[47]
  • précision à 30 chiffres :
Dérivé du nombre de Heegner 640320³+744. Cela n'admet pas de généralisations évidentes, car il n'y a qu'un nombre fini de nombres de Heegner.
  • précision de 52 décimales :
Comme celui ci-dessus, une conséquence du j-invariant.
  • précision de 161 décimales :
où u est un produit de quatre unités quartiques,
et
.
Basé sur le travail de Daniel Shanks. Semblable aux deux précédents, mais qui est cette fois est un quotient de forme modulaire, à savoir la fonction êta de Dedekind, et où l'argument implique .
  • La fraction continue de π peut être utilisée pour générer des approximations rationnelles successives. Ce sont les meilleures approximations rationnelles possibles de π par rapport à la taille de leurs dénominateurs. Voici une liste des treize premières fractions :
.

Approximation de l'aire d'un disque par quadrillage[modifier | modifier le code]

Approximation numérique de π : les points sont dispersés au hasard dans le carré unité, certains tombent dans le cercle unité. La fraction de points dans le cercle approche π/4.

π peut être obtenu à partir d'un cercle, si son rayon et son aire sont connus, en utilisant la relation :

.

Si un cercle de rayon r avec son centre situé en (0, 0), tout point dont la distance à l'origine est inférieure à r sera situé dans le disque. Le théorème de Pythagore donne la distance de n'importe quel point (xy) au centre :

Les carrés dont le centre se trouve à l'intérieur ou exactement à la limite du cercle peuvent ensuite être comptés en testant si, pour chaque point (xy),

Le nombre total de point satisfaisant cette condition se rapproche ainsi de l'aire du cercle, qui peut ensuite être utilisée pour calculer une approximation de π.

Cette formule s'écrit :

En d'autres mots, on commence par choisir une valeur pour r. En considérant tous les points (xy) dans lesquels x et y sont des entiers compris entre −r et r. Il suffit alors de diviser la somme représentant l'aire d'un cercle de rayon r, par r2 pour trouver une approximation de π. Par exemple, si r est égal à 5, alors les points considérés sont :

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

Les 12 points (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) sont exactement sur le cercle, tandis que 69 points sont à l'intérieur. Par conséquent, l'aire est 81, et π est approximé à environ 3,24 car 81/52 = 3,24. Les résultats pour certaines valeurs de r sont présentés dans le tableau ci-dessous :

Ce cercle tel qu'il serait tiré sur un graphique de coordonnées cartésiennes. Les points de coordonnées (±3, ±4) et (±4, ±3) sont marqués.
r Aire Approximation de π
2 13 3,25
3 29 3,22222
4 49 3,0625
5 81 3,24
10 317 3,17
20 1257 3,1425
100 31417 3,1417
1000 3141549 3,141549

Fractions continues[modifier | modifier le code]

π a de nombreuses représentations en fraction continue généralisée générées par une règle simple :

[48].

Trigonométrie[modifier | modifier le code]

Série de Gregory-Leibniz[modifier | modifier le code]

La série de Gregory-Leibniz

est la série de puissance pour arctan(x) en posant x = 1. Elle converge trop lentement pour avoir un intérêt pratique.

Arctangente[modifier | modifier le code]

Sachant que 4arctan(1) = π, la formule peut être simplifiée pour obtenir :

avec une convergence telle que chaque 10 termes supplémentaires donne au moins trois décimales de plus.

Arcsinus[modifier | modifier le code]

En notant que

nous avons

avec une convergence telle que chaque cinq termes supplémentaires donne au moins trois décimales de plus.

Calcul de la n-ième décimale de π[modifier | modifier le code]

La formule Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) pour calculer π a été découverte en 1995 par Simon Plouffe. En utilisant le système hexadécimal, la formule peut calculer n'importe quelle décimale de π sans avoir à calculer les décimales situées avant elle.

.

En 1996, Simon Plouffe en a déduit un algorithme pour extraire le n-ième chiffre décimal de π, en base 10, en un temps de calcul amélioré d'un facteur O(n3(log n)3). L'algorithme nécessite pratiquement aucune mémoire de stockage[49].

.

La temps de calcul de la formule de Plouffe a été amélioré de O(n2) par Fabrice Bellard, qui a démontré une formule alternative pour calculer π[50].

.

Logiciel pour calculer π[modifier | modifier le code]

Au cours des années, plusieurs programmes ont été écrits pour calculer π sur les ordinateurs personnels. Ils impliquent généralement une vérification et un échange de disque efficace pour faciliter des calculs extrêmement coûteux.

  • y-cruncher par Alexander Yee est le programme que Shigeru Kondo a utilisé pour calculer le record mondial de nombre de chiffres. y-cruncher peut également être utilisé pour calculer d'autres constantes, et atteindre des records mondiaux pour plusieurs d'entre elles.
  • PiFast par Xavier Gourdon était le programme le plus rapide sous Windows en 2003. Selon son auteur, il peut calculer un million de décimales en 3,5 secondes sur un Pentium de 2,4 GHz. PiFast peut également calculer d'autres nombres irrationnels comme e et 2.
  • QuickPi par Steve Pagliarulo. Comme PiFast, QuickPi peut également calculer d'autres nombres irrationnels comme e, 2 et 3. Le logiciel est disponible sur Stu's Pi.
  • Super PI par Kanada Laboratory à l'université de Tokyo. Il peut calculer un million de chiffres en 40 minutes, deux millions de chiffres en 90 minutes et quatre millions de chiffres en 220 minutes sur un Pentium 90 MHz.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Approximations of π » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) W. M. F. Petrie, Wisdom of the Egyptians, 1940.
  2. Se basant sur la grande pyramide de Gizeh, supposément construite de sorte à ce que le cercle dont le rayon est égal à la hauteur de la pyramide ait une circonférence égale au périmètre de la base.
  3. (en) Corinna Rossi, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2007.
  4. (en) J. A. R. Legon, « On pyramid dimensions and proportions », Discussions in Egyptology, vol. 20, 1991, p. 25-34.
  5. Voir en:Approximations of π#Imputed biblical value.
  6. (en) David Gilman Romano, Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion, American Philosophical Society, 1993, p. 78, aperçu sur Google Livres.
  7. E. M. Bruins, Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse, 1950.
  8. E. M. Bruins and M. Rutten, « Textes mathématiques de Suse », Mémoires de la Mission archéologique en Iran, vol. XXXIV, 1961.
  9. Voir aussi Beckmann 1971, p. 12, 21-22 « in 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon ».
  10. (en) Victor J. Katz (en) (ed.), Annette Imhausen et al., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, 2007 (ISBN 978-0-691-11485-9).
  11. (en) Krishna Chaitanya, A Profile of Indian Culture, Indian Book Company, 1975, p. 133.
  12. (en) Lazarus Mudehwe, « The story of pi ».
  13. (en) Lay Yong Lam et Tian Se Ang, « Circle measurements in ancient China », Historia Mathematica, vol. 13, no 4,‎ , p. 325-340 (DOI 10.1016/0315-0860(86)90055-8, Math Reviews 875525).
  14. Āryabhaṭīya (gaṇitapāda 10), cité et traduit dans (en) Harold R. Jacobs, Geometry: Seeing, Doing, Understanding, 2003 (3e éd.), New York, W. H. Freeman and Company, p. 70.
  15. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Aryabhata the Elder », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  16. (en) S. Balachandra Rao, Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks, Bangalore, Jnana Deep Publications, (ISBN 81-7371-205-0)
  17. (en) George E. Andrews et Richard Askey, Special Functions, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-78988-5), p. 58.
  18. (en) R. C. Gupta, « On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series », Ganita Bharati, vol. 14, nos 1-4,‎ , p. 68-71.
  19. Al-Kashi, author: Adolf P. Youschkevitch, chief editor: Boris A. Rosenfeld, p. 256
  20. (en) Mohammad K. Azarian, « al-Risāla al-muhītīyya: A Summary », Missouri Journal of Mathematical Sciences, vol. 22, no 2,‎ , p. 64-85 (lire en ligne).
  21. http://www.ijpam.eu/contents/2003-7-2/4/4.pdf
  22. (en) Edward Sandifer, « Why 140 Digits of Pi Matter », dans Jurij baron Vega in njegov čas: Zbornik ob 250-letnici rojstva, Ljubljana, DMFA, (ISBN 978-961-6137-98-0, OCLC 448882242, LCCN 2008467244, lire en ligne), p. 17 : « We should note that Vega's value contains an error in the 127th digit. Vega gives a 4 where there should be an, and all digits after that are incorrect. »
  23. a et b (en) D. Shanks et J. W. Wrench, Jr. (en), « Calculation of π to 100,000 decimals », Math. Comp., vol. 16, no 77,‎ , p. 76-99 (DOI 10.2307/2003813, JSTOR 2003813) (p. 80-99).
  24. (en) « Announcement », sur super-computing.org (Kanada Laboratory).
  25. (en) David H. Bailey, « Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation », .
  26. (en) Daisuke Takahashi, « Declared record: 2,576,980,370,000 decimal digits », .
  27. (en) Fabrice Bellard, « Pi Computation Record ».
  28. (en) « McCormick Grad Sets New Pi Record », .
  29. (en) Alexander J. Yee et Shigeru Kondo, « 5 Trillion Digits of Pi - New World Record », .
  30. By Glenn, « Short Sharp Science: Epic pi quest sets 10 trillion digit record », Newscientist.com, (consulté le 18 avril 2016)
  31. (en) Alexander J. Yee et Shigeru Kondo, « Round 2... 10 Trillion Digits of Pi », .
  32. « Le nombre Pi : Historique du record de décimales », sur www.math93.com.
  33. (en) Alexander J. Yee et Shigeru Kondo, « 12.1 Trillion Digits of Pi, And we're out of disk space... », .
  34. a et b (en) Alexander J. Yee, « y-cruncher: A Multi-Threaded Pi Program », sur www.numberworld.org, .
  35. (en) Peter Treub « Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi », .
  36. Eves 1992, p. 131.
  37. Beckmann 1971, p. 66.
  38. Eves 1992, p. 118.
  39. Beckmann 1971, p. 94-95.
  40. Eves 1992, p. 119.
  41. (en) Eric W. Weisstein, « Pi Formulas », MathWorld.
  42. (en) Ronald Mak, Java Number Cruncher: The Java Programmer's Guide to Numerical Computing, Prentice Hall, (lire en ligne), p. 353.
  43. (en) Martin Gardner, New Mathematical Diversions, MAA, , p. 92.
  44. (en) Martin Schneider, « A nested radical approximation for π ».
  45. Cahiers de Ramanujan, p. 16.[réf. incomplète][réf. à confirmer]
  46. Suite A271452 de l'OEIS.
  47. (en) Cetin Hakimoglu, « Mathematics », sur Seeking Alpha.
  48. D'autres représentations sont disponibles dans la section « Fractions continues » de l'article sur π.
  49. (en) Simon Plouffe, On the computation of the n'th decimal digit of various transcendental numbers, November 1996; Revised December 2009.
  50. (en) Bellard's Website: Bellard.org.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Chronologie du calcul de π (en)