Triangle équilatéral

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Triangle équilatéral
Image illustrative de l'article Triangle équilatéral

Type Polygone régulier

Symbole de Schläfli {3}
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
Groupe de symétrie Groupe diédral (D3)
Angle interne 60°
Propriétés Constructible

En géométrie, un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux. En géométrie euclidienne ou traditionnelle, ils sont aussi équiangulaires, c'est-à-dire que les trois angles internes sont égaux (ils valent 60°). Ce sont donc les polygones réguliers à 3 sommets.

Propriétés[modifier | modifier le code]

En notant a la longueur de chaque côté :

Ces formules peuvent être obtenues grâce au théorème de Pythagore.

Le triangle équilatéral est le triangle le plus symétrique : il a trois axes de symétrie, et son groupe de symétrie est le groupe diédral D3, d'ordre 6.

Un tétraèdre régulier est fait de quatre triangles équilatéraux.

Les triangles équilatéraux peuvent être trouvés dans de nombreuses constructions géométriques (voir par exemple GeoGebra). Trois des cinq solides de Platon sont composés de triangles équilatéraux. En particulier, les quatre faces du tétraèdre régulier sont des triangles équilatéraux.

Le théorème de Morley est un résultat permettant de trouver un triangle équilatéral dans n'importe quel triangle.

Tout triangle « est » équilatéral, c'est-à-dire que tout triangle (non dégénéré) du plan affine est équilatéral pour un certain produit scalaire (unique à un multiple positif près)[1],[2].

Construction géométrique[modifier | modifier le code]

Construction d'un triangle équilatéral avec un compas.

Un triangle équilatéral peut être facilement construit en utilisant un compas :

  • dessiner un segment ;
  • placer la pointe du compas sur une extrémité du segment ;
  • dessiner un arc de cercle passant par l'extrémité opposée ;
  • répéter avec l'autre extrémité du segment ;
  • connecter le point où les deux arcs se croisent.

Autre méthode, moins répandue :

  • tracer un cercle ayant pour rayon la longueur de côté voulue ;
  • placer la pointe du compas sur le cercle ;
  • dessiner un autre cercle de même rayon.

Les deux cercles se croisent en deux points. Un triangle équilatéral peut être construit en prenant les deux centres des cercles et l'un ou l'autre des points d'intersection.

Dans la culture[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Equilateral triangle » (voir la liste des auteurs).

  1. Pierre Lecomte, Le mathématicien et ses esclaves, Éditions de l'université de Liège,‎ (lire en ligne), p. 127.
  2. Cela revient à dire que les six transformations affines laissant invariant ce triangle sont des isométries pour une certaine distance euclidienne. Comparer avec « Espace euclidien, § Caractérisation par le groupe orthogonal ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Triangle équilatéral sur le site Math Open Reference, avec une animation interactive.