Ennéacontagone

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Un ennéacontagone est un polygone à 90 sommets, donc 90 côtés et 3 915 diagonales.

La somme des angles internes d'un ennéacontagone non croisé vaut 15 840 degrés.

Ennéacontagones réguliers[modifier | modifier le code]

Un ennéacontagone régulier est un ennéacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a douze : onze étoilés (notés {90/k} pour k impair de 7 à 43 sauf les multiples de 3 ou 5) et un convexe (noté {90}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéacontagone régulier ».

Les douze ennéacontagones réguliers.
Représentation Regular polygon 90.svg Star polygon 90-7.svg Star polygon 90-11.svg Star polygon 90-13.svg Star polygon 90-17.svg Star polygon 90-19.svg
Symbole de Schläfli {90} {90/7} {90/11} {90/13} {90/17} {90/19}
Angle interne 176° 152° 136° 128° 112° 104°
Représentation Star polygon 90-23.svg Star polygon 90-29.svg Star polygon 90-31.svg Star polygon 90-37.svg Star polygon 90-41.svg Star polygon 90-43.svg
Symbole de Schläfli {90/23} {90/29} {90/31} {90/37} {90/41} {90/43}
Angle interne 88° 64° 56° 32° 16°

Caractéristiques de l'ennéacontagone régulier[modifier | modifier le code]

Chacun des 90 angles au centre mesure 360°/90 = 4° et chaque angle interne mesure 15 840°/90 = 176°.

Si a est la longueur d'une arête :

  • le périmètre vaut P = 90 a ;
  • l'aire vaut A = (45a2/2) cot(π/90) ;
  • l'apothème vaut H = 2A/P = (a/2) cot(π/90) ;
  • le rayon vaut