Hectogone

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Un hectogone ou hécatontagone est un polygone à 100 sommets, donc 100 côtés et 4 850 diagonales.

La somme des angles internes d'un hectogone non croisé vaut 17 640 degrés.

Hectogones réguliers[modifier | modifier le code]

Un hectogone régulier est un hectogone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a vingt : dix-neuf étoilés (notés {100/k} pour k impair de 3 à 49 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {100}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hectogone régulier ».

Les vingt hectogones réguliers.
Représentation Regular polygon 100.svg Star polygon 100-3.svg Star polygon 100-7.svg Star polygon 100-9.svg Star polygon 100-11.svg
Symbole de Schläfli {100} {100/3} {100/7} {100/9} {100/11}
Angle interne 176,4° 169,2° 154,8° 147,6° 140,4°
Représentation Star polygon 100-13.svg Star polygon 100-17.svg Star polygon 100-19.svg Star polygon 100-21.svg Star polygon 100-23.svg
Symbole de Schläfli {100/13} {100/17} {100/19} {100/21} {100/23}
Angle interne 133,2° 118,8° 111,6° 104,4° 97,2°
Représentation Star polygon 100-27.svg Star polygon 100-29.svg Star polygon 100-31.svg Star polygon 100-33.svg Star polygon 100-37.svg
Symbole de Schläfli {100/27} {100/29} {100/31} {100/33} {100/37}
Angle interne 82,8° 75,6° 68,4° 61,2° 46,8°
Représentation Star polygon 100-39.svg Star polygon 100-41.svg Star polygon 100-43.svg Star polygon 100-47.svg Star polygon 100-49.svg
Symbole de Schläfli {100/39} {100/41} {100/43} {100/47} {100/49}
Angle interne 39,6° 32,4° 25,2° 10,8° 3,6°

Caractéristiques de l'hectogone régulier[modifier | modifier le code]

Chacun des 100 angles au centre mesure 360°/100 = 3,6° et chaque angle interne mesure 17 640°/100 = 176,4°.

Si a est la longueur d'une arête :

  • le périmètre vaut P = 100 a ;
  • l'aire vaut A = 25 a2 cot(π/100) ;
  • l'apothème vaut H = 2A/P = (a/2) cot(π/100) ;
  • le rayon vaut