Ennéagone

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Ennéagone régulier
Image illustrative de l'article Ennéagone

Type Polygone régulier
Arêtes 9
Sommets 9

Symbole de Schläfli {9}
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png
Groupe de symétrie groupe diédral D9
Angle interne 140°

Un ennéagone[1], ou nonagone[2],[3],[4], est un polygone à 9 sommets, donc 9 côtés et 27 diagonales.

La somme des angles internes d'un ennéagone non croisé vaut 7π radians, soit 1 260 degrés.

Un ennéagone régulier est un ennéagone dont les neuf côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a trois : deux étoilés (en) (les ennéagrammes notés {9/2} et {9/4}) et un convexe, noté {9}. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéagone régulier ».

Caractéristiques de l'ennéagone régulier[modifier | modifier le code]

Si le côté a pour longueur a :

  • chacun des 9 angles internes mesure 7π/9 rad = 140° ;
  • chaque angle au centre mesure 2π/9 rad = 40° ;
  • le rayon vaut\tfrac a{2\sin\left(\tfrac{\pi}9\right)}~;
  • l'apothème est (a/2) cot(π/9) ;
  • l'aire est égale à\frac{9a^2}4\cot\left(\tfrac{\pi}9\right).

Construction d'un ennéagone régulier[modifier | modifier le code]

Un ennéagone régulier n'est pas constructible avec seulement une règle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorème de Gauss-Wantzel. Il l'est, par contre, « par neusis (en) », avec une règle marquée et un compas.

Pour construire un ennéagone régulier dont un des côtés est le segment AB, de longueur u, on procède ainsi :

  • Appelons D1 la droite contenant A et B.
  • Tracer les cercles C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'ennéagone.
  • Tracer la droite D2 passant par E et F.
  • Tracer le cercle C3 de centre F passant par A.
  • Tracer les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B.
  • Marquer la règle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le côté du triangle équilatéral.
  • Faire glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'à ce que la marque Y de la règle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3.
  • Tracer le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan d'origine D5 contenant A.
  • Tracer la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K.
  • Tracer le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J.
  • C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d'origine D1 contenant K.
  • C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que les points A ou B, respectivement en L, M et N.
  • Tracer la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d'origine D5 contenant N.
  • Le polygone ABNPGOLJM est l'ennéagone recherché.

La démonstration complète est un peu longue mais relève de la géométrie élémentaire.

Construction d'un ennéagone régulier.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Denis Henrion, Mémoires mathématiques,‎ (lire en ligne), p. 358.
  2. Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, M. Hayez,‎ (lire en ligne), p. 453, 480 et 484.
  3. Encyclopédie méthodique, Mathématiques, vol. 2, p. 468.
  4. Le mot « nonagone » associe un préfixe latin et un suffixe grec.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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