Cerf-volant (géométrie)

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Un cerf-volant convexe avec ses côtés égaux, ses diagonales perpendiculaires et son cercle inscrit.
Tous les cerfs-volants sont des quadrilatères circonscriptibles (en).

En géométrie, un cerf-volant est un quadrilatère dont une des diagonales est un axe de symétrie (ou — ce qui est équivalent — un quadrilatère formé de deux paires de côtés adjacents égaux). Les diagonales peuvent se couper à l'intérieur (cerf-volant convexe) ou à l'extérieur (« pointe de flèche » ou cerf-volant non convexe). Ceci contraste avec un parallélogramme, où les côtés égaux sont opposés. L'objet géométrique est nommé en référence au cerf-volant que l'on fait voler, qui a, dans son aspect le plus simple, la forme d'un cerf-volant convexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La diagonale qui est un axe de symétrie divise le cerf-volant en deux triangles isométriques.
  • Elle est la médiatrice de l'autre diagonale.
  • Un cerf-volant possède un cercle inscrit, c'est-à-dire qu'il existe un cercle qui est tangent aux quatre côtés.
  • Si d_1 et d_2 sont les longueurs des diagonales, alors l'aire est (comme dans tout quadrilatère orthodiagonal (en))A=\frac{d_1d_2}2.
  • Alternativement, si a et b sont les longueurs des côtés, et \theta l'angle entre les côtés inégaux, alors l'aire estA={a b \sin\theta}.
  • Dans un cerf-volant convexe, la diagonale qui n'est pas l'axe divise le cerf-volant en deux triangles isocèles.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Si tous les côtés sont de la même longueur et si les quatre sommets sont distincts, le quadrilatère est un losange.

Les cerfs-volants inscriptibles (c'est-à-dire dont les quatre sommets sont cocycliques) sont ceux à deux angles droits (en).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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