Sous-groupe

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Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes.

Dans cet article, (G,*)\, désigne un groupe d'élément neutre  e \, .

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Soit H un sous-ensemble de G. On dit que (H,\star)\, est un sous-groupe de (G,*)\, si (H,\star) est un groupe dont la loi \star\, s'obtient par restriction de *\, à H \times H \,.
  • On peut aussi dire que H est un sous-groupe de G s'il existe un monomorphisme (ou un morphisme injectif) de H dans G, dans ce cas là H est rarement inclus dans G.

Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire *\, .

Sous-groupe propre[modifier | modifier le code]

  • Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
  • Soit H, un sous-groupe de G différent des sous-groupes triviaux, alors H est un sous-groupe propre de G.
    • Remarque, les groupes n'ayant pas de sous-groupes propres sont les groupes de la forme ℤ/nℤ avec n premier ou égal à 1.
  • La terminologie est en fait flottante. Les auteurs anglophones[1] et certains auteurs francophones[2] appellent sous-groupes propres d'un groupe G les sous-groupes de G distincts de G. Les auteurs qui adoptent cette définition d'un sous-groupe propre désignent par « sous-groupe trivial » (quand ils emploient cette expression) le sous-groupe réduit à l'élément neutre[1].

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Il est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses. C'est-à-dire H induit un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide, inclus dans G et :

 \forall (x,y) \in H^2, x*y^{-1} \in H.

Dans le cas particulier des groupes finis, H est un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide et stable pour les produits. La condition de stabilité par les inverses n'est pas nécessaire, car elle découle de la stabilité pour les produits ; en effet, si l'on note n l'ordre d'un élément a de H, l'inverse de a est an – 1, qui appartient à H.

Propriété[modifier | modifier le code]

L'élément neutre de H est le même que celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G. Pour cette raison, leur notation est la même dans H que dans G. Par définition un sous-groupe est lui-même un groupe, c'est-à-dire qu'il possède aussi une loi de composition interne, un élément neutre (étant le même que celui du groupe) et tout élément du sous-groupe admet un symétrique appartenant lui même au sous-groupe .

Exemples[modifier | modifier le code]

Sous-groupe d'un groupe cyclique fini[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe cyclique.

Soit G un groupe cyclique fini d'ordre pq, où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors G a un unique sous-groupe d'ordre p. Ce sous-groupe est cyclique, engendré par gqg est n'importe quel générateur de G.

Sous-groupe des entiers relatifs[modifier | modifier le code]

Les sous-groupes du groupe additif ℤ des entiers relatifs sont les parties de la forme nℤ, pour n'importe quel entier n.

Sous-groupe des réels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe topologique.

Plus généralement, les sous-groupes non denses du groupe additif ℝ des réels sont les parties de la forme rℤ, pour n'importe quel réel r.

On en déduit le théorème de Jacobi-Kronecker : dans le cercle unité (le groupe multiplicatif des complexes de module 1), le sous-groupe des puissances d'un élément ei2πt (qui est évidemment fini si t est rationnel) est dense si t est irrationnel.

Sous-groupe engendré par une partie[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Partie génératrice d'un groupe.

Soit S une partie de G. Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant S, appelé « sous-groupe engendré par S », et noté 〈S〉.

Théorème de Lagrange[modifier | modifier le code]

Si G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que [G:H] |H| = |G|, où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|.

Corollaire[modifier | modifier le code]

Tout groupe d'ordre premier p est cyclique et isomorphe à ℤ/pℤ.

Liens avec les homomorphismes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Morphisme de groupes.

La notion de sous-groupe est « stable » pour les morphismes de groupes. Plus précisément :

Soit f : GG' un morphisme de groupes.

  • Pour tout sous-groupe H de G, f(H) est un sous-groupe de G'.
  • Pour tout sous-groupe H' de G', f−1(H') est un sous-groupe de G.

Si K est un sous-groupe de H et H un sous-groupe de G alors K est un sous-groupe de G, et de même en remplaçant « est un sous-groupe » par « est isomorphe à un sous-groupe ». Mais l'analogue du théorème de Cantor-Bernstein est faux pour les groupes, c'est-à-dire qu'il existe (parmi les groupes libres par exemple) deux groupes non isomorphes tels que chacun se plonge dans l'autre.

Liens avec les treillis[modifier | modifier le code]

Les sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même. La borne inférieure de deux sous-groupes A et B est leur intersection AB. La borne supérieure est le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes, soit 〈AB〉.

Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Voir par exemple (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail de l’édition], 4e éd., p. 22.
  2. Voir par exemple Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., p. 30.