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Octacontagone

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Un octacontagone est un polygone à 80 sommets, donc 80 côtés et 3 080 diagonales.

La somme des angles internes d'un octacontagone non croisé vaut 14 040 degrés.

L'octacontagone régulier est constructible.

Octacontagones réguliers

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Un octacontagone régulier est un octacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a seize : quinze étoilés (notés {80/k} pour k impair de 3 à 39 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {80}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octacontagone régulier ».

Les seize octacontagones réguliers
Représentation
{80}

{80/3}

{80/7}

{80/9}

{80/11}

{80/13}

{80/17}

{80/19}
Angle interne 175,5° 166,5° 148,5° 139,5° 130,5° 121,5° 103,5° 94,5°
Représentation
{80/21}

{80/23}

{80/27}

{80/29}

{80/31}

{80/33}

{80/37}

{80/39}
Angle interne 85,5° 76,5° 58,5° 49,5° 40,5° 31,5° 13,5° 4,5°

Caractéristiques de l'octacontagone régulier

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Chacun des 80 angles au centre mesure et chaque angle interne mesure .

Si a est la longueur d'une arête :

  • le périmètre vaut  ;
  • l'aire vaut  ;
  • l'apothème vaut  ;
  • le rayon vaut .

Constructibilité

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L'octacontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection du tétracontagone. On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 80 est le produit de 16 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).

Référence

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Octacontagon » (voir la liste des auteurs).